如何確定冪函數的解析式

■于夢瑜

求冪函數的解析式時,要明確冪函數的定義,形如y=xα(α∈R)的冪函數,要注意xα的系數為1。求冪函數的解析式時,要注意冪函數性質的應用。

一、結合函數的定義求冪函數的解析式

評析:已知函數是冪函數,可設該函數為y=f(x)=xα(α∈R),這樣就可待定其中的參數值α,從而求得冪函數y=f(x)的解析式。

二、結合函數的圖像求冪函數的解析式

例2 若冪函數f(x)=(m2-2m-2)·xm2+m-1的圖像與坐標軸沒有交點,求實數m的值。

解:由f(x)=(m2-2m-2)xm2+m-1是冪函數,可得m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3。

當m=3 時,f(x)=x11的圖像過原點(0,0),這時與坐標軸相交,不合題意;當m=-1時,f(x)=x-1的圖像與坐標軸無公共點,符合題意。故實數m=-1。

評析:對于冪函數y=xα(α∈R),當α>0時,y=xα的圖像過兩個定點(0,0)與(1,1)。由冪函數f(x)=(m2-2m-2)xm2+m-1的圖像與坐標軸沒有交點,可判斷m2+m-1<0。

三、結合函數的奇偶性求冪函數的解析式

例3 已知冪函數y=f(x)=x-2m2-m+3,其中m∈{x|-2

求同時滿足①②的冪函數f(x)的解析式,并求當x∈[0,3]時f(x)的值域。

解:因為m∈{x|-2

對任意x∈R,都有f(-x)+f(x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數。

當m=-1 時,f(x)=x2,此時滿足條件①,不滿足條件②;當m=1 時,f(x)=x0=1(x≠0),此時條件①②都不滿足;當m=0時,f(x)=x3,此時滿足條件①②,且在區間(0,+∞)上是增函數。

綜上可得,冪函數的解析式為f(x)=x3,所以當x∈[0,3]時,f(x)的值域為[0,27]。

評析:解答這類問題,要明確y=x,y=這五類冪函數的單調性。由函數的性質,確定冪函數解析式中所含參數的值是求解冪函數解析式常用的手段。

四、結合函數的單調性求冪函數的解析式

例4 函數f(x)=(m2-3m+3)·xm2+m-3是冪函數,且當x∈(0,+∞)時,f(x)是增函數,求f(x)的解析式。

解:由冪函數的定義得m2-3m+3=1,解得m=2或m=1。

當m=2時,f(x)=x3在(0,+∞)上是增函數,符合題意;當m=1 時,f(x)=x-1在(0,+∞)上是減函數,不合題意。

綜上可得,f(x)=x3。

評析:解答本題時,因不理解冪函數的定義而找不到“m2-m-1=1”這一等量關系,因此容易導致解題受阻。需要注意的是冪函數與指數函數的解析式“形同”而“實異”,一定要區分清楚,以防出錯。