函數的概念與性質中易錯問題剖析和提醒

■朱 珠

函數的概念與性質比較抽象,初學者常常會犯這樣或那樣的錯誤,下面歸納整理剖析并提醒之。

易錯點1:混淆復合函數的定義域和外層函數的定義域

剖析:已知復合函數的定義域,求另一個復合函數的定義域,應先求出外層函數f(x)的定義域即為內層函數的值域,再求定義域。

當x∈[-2,1]時,可得x2+1∈[1,5],則f(x)的定義域為[1,5]。由1≤2x+1≤5,可得0≤x≤2,所以函數f(2x+1)的定義域為[0,2]。

提醒:已知函數f[φ(x)]的定義域求外層f(x)的定義域,實質是求φ(x)的值域;已知函數f[φ(x)]的定義域A,求f[g(x)]的定義域,先求出φ(x)的值域B應為外層f(x)的定義域,再利用整體變量觀念使g(x)∈B解出x的范圍,即為f[g(x)]的定義域。

易錯點2:求函數值域時,忽略定義域的限制作用

剖析:上述解法沒有考慮函數的定義域,導致所求值域擴大了。由-x2+x+2≥0,

提醒:解決函數值域問題,應從函數的定義域入手,由內到外利用函數在區間上的單調性求解。

易錯點3:混淆函數值域為R 與函數定義域為R 的區別

易錯點4:混淆單調區間和單調區間子集的意義

例4 若函數f(x)=x2+2(a-1)x+4的單調遞減區間是(-∞,4],則實數a的取值范圍是_____。

錯解:函數f(x)的圖像的對稱軸為直線x=1-a。函數f(x)在區間(-∞,4]上單調遞減,因此1-a≥4,可得a≤-3,即實數a∈(-∞,-3]。

剖析:上述解法把單調區間誤認為是在區間上單調了。因為函數的單調遞減區間為(-∞,4],且函數圖像的對稱軸為直線x=1-a,所以1-a=4,可得a=-3。

提醒:單調區間是一個整體概念,如函數的單調遞減區間是I,指的是函數遞減的最大范圍為區間I,而函數在某一區間上單調,則指此區間是相應單調區間的子集。

易錯點5:由單調性求參數范圍時,忽略整體變量的范圍

例5 已知奇函數f(x)是定義在(-2,2)上的減函數,若f(m-1)+f(2m-1)>0,求實數m的取值范圍。

提醒:利用函數單調區間求參數的取值范圍,一定要讓所有的整體變量都在所給區間上,再利用單調性進行轉化,最后求交集。

易錯點6:分段函數求函數值,忽略整體變量的范圍

錯解:當1-a>1,1+a<1時,由f(1-a)=f(1+a),可得-1+a-2a=2+2a+a,解得a=-。

提醒:處理分段函數的求值問題,必須考慮自變量的取值所在區間,如果取值不太明確時,要進行分類討論,同時檢驗所求自變量的值或范圍是否符合題意。

易錯點7:奇偶性的判斷中,忽視對參數的分類討論

剖析:上述解法沒有對參數進行分類討論,認為f(-x)≠±f(x)。

當a=0,b≠0 時,f(x)是奇函數;當a≠0,b=0時,f(x)是偶函數;當a=0,b=0時,f(x)既是奇函數又是偶函數;當a≠0,b≠0時,f(x)既不是奇函數也不是偶函數。

提醒:函數定義域關于原點不對稱,函數一定是非奇非偶函數。在定義域關于原點對稱的前提下,對定義域內任意x都有f(-x)=-f(x),則f(x)為奇函數;對定義域內任意x都有f(-x)=f(x),則f(x)為偶函數;若定義域內存在x0使f(-x0)≠-f(x0),則f(x)不是奇函數;若定義域內存在x0使f(-x0)≠f(x0),則f(x)不是偶函數。