分段函數“題型”剖析

■王 飛

分段函數是“自變量取不同范圍時所使用的解析式不同”,于是,求解分段函數要時刻盯著自變量的范圍是否發生變化,即“分段函數——分區間研究其性質”。

題型1:分段函數的求值問題

分段函數求值,可依據自變量的值,選擇對應的解析式求值。當自變量不確定時,先合理分類,再利用區間上的解析式求值。

題型2:分段函數的復合函數求值問題

分析:求f[g(π)]的值,需認清由內向外的順序,合理選擇區間上的解析式求值。

解:因為π 為無理數,所以g(π)=-1。又-1<0,所以f[g(π)]=f(-1)=-2。

分段函數的復合函數求值,注意由內向外的復合過程,每一次都由自變量的范圍合理選擇區間上對應的解析式求值。本題先求g(π)的值,再求f[g(π)]的值。

題型3:分段函數的不等式問題

分析:求f(a)>3,需依據a的取值范圍選擇解析式,這就要對a進行分類討論,利用f(a)構建不等式組,最后求并集。

求分段函數的不等式,關鍵是先利用區間上的解析式,對整體變量進行合理分類,構建不等式組,再求并集,凸顯了“先分后合”的分類方法。

題型4:分段函數與實際應用問題

例4 某單位為鼓勵職工節約用水,有如下規定:每位職工每月用水量不超過10m3,按3元/m3收費;用水量超過10m3,超過部分按5元/m3收費。某職工某月繳水費55元,則該職工這個月實際用水量為____m3。

分析:先設出職工的月實際用水量,由題設構建所交水費與用水量的分段函數,借助分段函數的函數值構建方程,再求對應的用水量。

解:設職工的月實際用水量為xm3,所繳水費為y元。 結合題意可得y=

在閱讀理解的基礎上,構建分段函數模型是解題的關鍵。解題的難點是“當x>10 時,y=30+5(x-10)”的應用。

題型5:分段函數的單調性問題

分段函數由區間單調到R 上單調,既要考慮“同步單調”,也要考慮分界點處的函數值的大小關系。

題型6:新定義的分段函數問題

致圖像,如圖1所示。

圖1

關于x的方程f(x)=m有三個互不相等的實數根x1,x2,x3,即函數f(x)的圖像與直線y=m有三個不同的交點,所以0

解答本題的關鍵是由新定義的運算法則得到函數