“痛點”拓展
———復合函數的定義域問題

■徐 勇

“痛點”是當下比較熱的互聯網術語,一般指市場不能充分滿足的,而客戶迫切需要滿足的需求。在數學解題過程中,我們也會經常碰到類似的“痛點”,明明覺得思路清晰,解答正確,而最終還是出現偏差。下面就復合函數的定義域這一“痛點”加以剖析。

一、表層“痛點”——復合函數的定義域問題

分析:根據自變量x的取值范圍確定x2-1的取值范圍,即為函數y=f(x)的定義域。

評析:運算類的復合型函數的定義域,涉及加、減、乘、除等綜合運算的應用,可先確定對應函數的定義域,再求相應的交集。

二、中層“痛點”——復合函數的基本性質問題

復合函數的基本性質包括復合函數的值域,復合函數的單調性、奇偶性、周期性等,其前提條件是離不開復合函數的定義域,這是求解過程中的“痛點”所在,要引起同學們的重視。

1.復合函數的值域問題

評析:按照“由內到外”的順序來研究復合函數的內層函數值域A與外層函數定義域B之間的關系,要保證內層函數值域A是外層函數定義域B的子集,再結合條件加以分析與處理。

2.復合函數的單調性問題

評析:復合函數的單調性遵循“同增異減”的法則,即內、外層函數單調性相同時復合函數的單調性為增函數,內、外層函數單調性相反時復合函數的單調性為減函數。

三、內層“痛點”——復合函數的綜合應用問題

復合函數的綜合應用問題,離不開復合函數的定義域。解答這類問題,可利用函數的基本性質、定義域與值域,結合函數的圖像進行分析與處理。

1.復合函數的最值問題

評析:求復合函數的最值,必須在優先考慮定義域的前提下,進行分析與求解。

2.復合函數的參數問題

故實數a的取值范圍為(-4,4]。

評析:求復合函數的綜合應用問題,為避免因忽略內層函數或外層函數的定義域而造成的“痛點”,可以從復合函數自身的結構出發,采取“由內到外”或“由外到內”的方法,逐層分析復合函數的相關定義域。