“函數(shù)的概念與性質(zhì)”題型探析

■周 樹

函數(shù)的概念與性質(zhì)是每年高考的一個常考知識點(diǎn)。下面就高考中常見的幾類題型進(jìn)行舉例剖析。

題型一:求函數(shù)的定義域

題型二:函數(shù)單調(diào)性的證明

題型三:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

題型四:函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用

例4 已知f(x)是定義在R 上的奇函數(shù),且當(dāng)x≤0 時,f(x)=3x2-2x+m,則f(x)在[1,2]上的最大值為____。

思路分析:根據(jù)f(0)=0求m的值,由x≤0,結(jié)合f(x)是奇函數(shù)可求當(dāng)x>0時的解析式,判斷f(x)在[1,2]上的單調(diào)性即可求其最大值。或者,求出當(dāng)x≤0時,f(x)的最小值,根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì),求出f(x)在[1,2]上的最大值。

解:(方法1)因?yàn)閒(x)是定義在R 上的奇函數(shù),所以f(0)=0。當(dāng)x≤0時,f(x)=3x2-2x+m,所以f(0)=0=m,所以當(dāng)x≤0時,f(x)=3x2-2x。

設(shè)x>0,則-x<0,所以f(-x)=3x2+2x,所以f(x)=-f(-x)=-3x2-2x,即當(dāng)x>0 時,f(x)=-3x2-2x,所以f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,所以f(x)在[1,2]上的最大值為f(1)=-5。

(方法2)因?yàn)閒(x)是定義在R 上的奇函數(shù),所以f(0)=0。當(dāng)x≤0 時,f(x)=3x2-2x+m,所以f(0)=0=m,所以當(dāng)x≤0時,f(x)=3x2-2x。根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì),f(x)在[1,2]上有最大值,那么f(x)在[-2,-1]上有最小值。因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=3x2-2x在[-2,-1]上遞減,所以當(dāng)x∈[-2,-1]時,f(x)min=f(-1)=5,所以f(x)在[1,2]上的最大值為-5。