問渠哪得清如許，為有源頭活水來
——談抽象函數(shù)中的單調(diào)性應(yīng)用技巧

■樂和順

抽象函數(shù)通常是指沒有給出具體的函數(shù)解析式,只給出了其他一些條件(如函數(shù)的定義域、經(jīng)過的特殊點、解析遞推式、部分圖像性質(zhì)等)的函數(shù)。抽象函數(shù)是高中數(shù)學的難點,也是高中與大學的一個知識銜接點。因為抽象函數(shù)沒有具體的解析式,所以判斷或應(yīng)用其單調(diào)性時就比較困難。下面就幾類常見的抽象函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用技巧,進行實例剖析。

一、單調(diào)性定義的巧妙應(yīng)用

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,函數(shù)單調(diào)性判斷的“三部曲”:任給定義域內(nèi)的兩個值x1,x2,并規(guī)定它們的大小;比較兩處函數(shù)值的大小(常規(guī)方法是作差);根據(jù)定義產(chǎn)生結(jié)論。

例1 已知定義在R 上的函數(shù)f(x),對任意實數(shù)x、y,恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且當x>0 時,f(x)<0。求證:函數(shù)f(x)在R 上是減函數(shù)。

分析:利用函數(shù)單調(diào)性的定義,按照三個步驟進行分析與證明。

證明:設(shè)x1,x2∈R,且x1>x2,則x1-x2>0。

由已知條件知,當x>0時,f(x)<0,所以f(x1-x2)<0。

因為f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)<0,所以f(x1)

抽象函數(shù)的單調(diào)性問題,可通過抽象函數(shù)的分析,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義求解。解決抽象函數(shù)的單調(diào)性問題的關(guān)鍵是把x1寫成,或把x1寫成(x1-x2)+x2的形式進行變形分析與處理。

變形練習1:已知f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),且當x>1時,f(x)>0。對于一切實數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),求證:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)。

二、結(jié)合奇偶性的應(yīng)用

函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性是函數(shù)的兩個重要性質(zhì),它們之間相輔相成,又有區(qū)別與聯(lián)系,利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性,可以巧妙地處理一些相關(guān)的抽象函數(shù)問題。

分析:根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義,結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)加以判斷。注意利用單調(diào)性的定義時,x1,x2的取值要結(jié)合對應(yīng)的區(qū)間加以選取。

任取x1,x2∈(-∞,0),且x1-x2>0。

因為y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且f(x)<0,所以f(-x2)

因為y=f(x)是奇函數(shù),所以f(-x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1),所以f(x2)

本題容易出現(xiàn)的錯誤是:在區(qū)間(0,+∞)上任取x1,x2且x1

變形練習2:已知函數(shù)f(x)是R 上的奇函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù),證明函數(shù)f(x)在(-∞,0)上也是增函數(shù)。

提示:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1-x2>0。

因為f(x)是R 上的奇函數(shù),所以

f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2)。①

由f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),可得

f(-x1)>f(-x2)。 ②

把①代入②得f(x1)

三、實際問題的創(chuàng)新應(yīng)用

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,函數(shù)的單調(diào)性在比較大小、求函數(shù)的值與最值,以及求參數(shù)問題都有廣泛的應(yīng)用。

分析:抽象函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問題,要根據(jù)其相應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性加以分析與求解。本題中只給出x>0時的情況,這時要結(jié)合已知條件,先判斷函數(shù)的奇偶性,再求出最值。

令x=y=0,則f(0)=0。令y=-x,則f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(x)=-f(-x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。

對任意x1,x2∈R,且x10,所以f(x2-x1)<0。

因為f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x1)

因為f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2,所以f(-3)=-f(3)=2,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,3]上的取值范圍為[-2,2],所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值為2,最小值為-2。

抽象函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上的最值問題,可利用函數(shù)單調(diào)性的定義,結(jié)合函數(shù)的奇偶性加以解決。

變形練習3:已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-1,1)上是減函數(shù),且f(1-a)-f(2-3a)>0成立,求實數(shù)a的取值范圍。

提示:由f(1-a)-f(2-3a)>0,可得f(1-a)>f(2-3a)。