例談《直線和圓的方程》的新題型

■安徽省安慶市第一中學 洪汪寶

隨著新高考的不斷推進,對直線和圓的方程的考查出現了一些新題型,比如開放型問題、多項選擇題、結構不良題、數學文化題、新定義概念題等。這些新題型綜合性和靈活性比較強,創新力度大,對同學們的閱讀理解能力、邏輯推理能力、運算求解能力、分析問題和解決問題的能力等多種思維能力和綜合素養要求比較高,體現了基礎性、綜合性、應用性、創新性的考查要求。下面結合具體例題談談這些新題型的求解策略,希望對同學們的學習有所幫助。

一、開放型問題

評注:本題是一道典型的條件開放型問題,設圓心C到直線AB的距離為d,并用距離d表示弦長|AB|,從而用d表示三角形的面積。先結合已知的三角形面積大小得到關于d的方程,解出d的值,再利用點到直線的距離公式得到參數m的方程,即可求出滿足題意m的值。

例2(2022年全國新課標Ⅰ卷)寫出與圓x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程 。

圖1

圖2

評注:本題是一道典型的結論開放型問題。先根據兩圓的圓心距與半徑之和進行比較,發現兩圓相外切,于是其公切線有3 條,作為填空題,只需填一個最有把握的、最易求出的直線方程,很明顯,填寫x=-1比較合適,解題時注意這種開放題的答題技巧。

二、多項選擇題

例3已知圓M:(x+cosθ)2+(ysinθ)2=1,直線l:y=kx,下列四個命題為真命題的是( )。

A.對任意實數k和θ,直線和圓相切

B.對任意實數k和θ,直線和圓有公共點

C.對任意實數θ,必存在實數k,使得直線與圓相切

D.對任意實數k,必存在實數θ,使得直線與圓相切

解：圓M:(x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1恒過定點O(0,0),直線l:y=kx也恒過定點O(0,0),故B正確。

故選BD。

評注:注意題中的圓是動圓,其圓心在圓x2+y2=1 上,半徑為1,直線l是過原點的動直線,結合選項對各個命題進行判斷,注意對量詞的正確理解。

例4對于兩條平行直線和圓的位置關系定義如下:若兩條直線中至少有一條與圓相切,則稱該位置關系為“平行相切”;若兩條直線都與圓相離,則稱該位置關系為“平行相離”;否則稱為“平行相交”。已知直線l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0 與圓C:x2+y2+2x=b2-1(b＞0)的位置關系是“平行相交”,則實數b的取值可以是( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

解：由已知得直線l1:ax+3y+6=0 與l2:2x+(a+1)y+6=0平行,則a×(a+1)=3×2,解得a=2或a=-3。

當a=2時,兩條直線方程相同,兩條直線重合,不合題意。

當a=-3時,經檢驗符合題意,故a=-3。

此時兩條直線方程分別為x-y-2=0,x-y+3=0。

將x2+y2+2x=b2-1(b＞0)配方整理得(x+1)2+y2=b2,其圓心坐標為(-1,0),半徑為b。

故選BCD。

評注:正確理解“平行相切”“平行相離”“平行相交”等概念是解決本題的關鍵。先求出“平行相切”時參數b的值,再求出“平行相離”時參數b的取值范圍,從而得到“平行相交”時參數b的取值范圍,結合各選項進行選擇。

三、結構不良題

所以圓C的方程為(x+4)2+(y+2)2=2。

評注:本題是一道典型的結構不良題,實際上也是一道條件半開放問題,要求先從所給兩個(有時更多)條件中選一個(不能多選)補充到題目中,再結合題目中其他條件給出正確答案。同學們可以根據自身情況靈活選擇其中一個解答,但盡量保證選能正確解答的條件,千萬不要選自己不熟悉的條件,防止給自己設置陷阱。

四、數學文化題

評注:本題以“歐拉線”為背景考查直線方程的求法,求解的關鍵是抓住歐拉線就是三角形的外心、重心、垂心所在的直線。考查數學知識的同時向同學們闡述數學家的突出貢獻。注意三角形的外心是三角形外接圓的圓心,是三條中垂線的交點;三角形的重心是三條中線的交點;三角形的垂心是三條高所在直線的交點。千萬不要弄混這三個概念。

例7古希臘數學家阿波羅尼斯(約公元前262年-公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果。著作中有這樣一個命題:平面內與兩定點距離的比

評注:先根據定義求出阿波羅尼斯圓(通常簡稱“阿氏圓”)的方程,挖掘出點實際上是兩圓的公共點,從而得到兩圓的位置關系是相切或相交,轉化為圓心距與半徑之和、半徑之差的不等關系,從而求出參數范圍。考查直接法求圓的方程、圓與圓的位置關系等多個知識點,同時向同學們闡述古希臘數學的輝煌成就,激發同學們學習數學的熱情。

五、新定義概念題

例8(多選)“出租車幾何”或“曼哈頓距離”(Manhattan Distance)是由19 世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創詞匯,是種被使用在幾何度量空間的幾何學用語。在平面直角坐標系xOy內,對于任意兩點A(x1,y1),

故選AC。

評注:本題新定義“曼哈頓距離”,注意與“歐幾里得距離”的不同,正確理解“曼哈頓距離”并靈活運用定義是關鍵。解題時利用絕對值的意義去掉絕對值,同時注意絕對值三角不等式的應用,對同學們的分類討論思想及整體策略要求比較高。

例9若函數f(x)是定義域和值域均為[0,1]的單調遞增函數,我們稱曲線y=f(x)為洛倫茲曲線,它在經濟學上被用來描述一個國家的家庭收入分布情況。如圖3,設曲線y=f(x)與直線y=x所圍成的區域面積為A,曲線y=f(x)與直線x=1,x軸所圍成的區域面積為B,定義基尼系數G=

圖3

評注:本題新定義“洛倫茲曲線”和“基尼系數”兩個概念,正確理解新定義是解題的關鍵,注意到所給洛倫茲曲線是圓的四分之一區域,實際上是一個弓形,“基尼系數”實際上就是兩個面積之比,問題即可迎刃而解。