五種方法解決圓中弦的中點軌跡問題

■西北師范大學附屬中學 盧會玉

圓中弦的中點軌跡問題是一類常見的題型,多以選擇題或填空題的形式出現,下面總結出五種常見的解題方法。 從不同角度分析問題,可以帶給同學們不同的解題過程。

題目 由圓x2+y2=9外一點P(5,12)引圓的割線與圓相交于A,B兩點,求弦AB的中點M的軌跡方程。

解法一：(直接法)

如圖1,設弦AB的中點M的坐標為M(x,y),連接OP,OM,則OM⊥AB。

圖1

在△OMP中,由兩點間的距離公式和勾股定理得:

x2+y2+ (x-5)2+(y-12)2=169。

整理得x2+y2-5x-12y=0,其中-3≤x≤3。

解法二：(定義法)

解法三：(交軌法)

設過點P的割線的斜率為k,則此割線的方程為y-12=k(x-5)。

這兩條直線的交點就是M,兩式聯立消去k可得x2+y2-5x-12y=0,其中-3≤x≤3。

解法四：(參數法)

消去參數k可得M點的軌跡方程為x2+y2-5x-12y=0,其中-3≤x≤3。

解法五：(點差法)

以上五種解法都是求軌跡問題的基本方法,有的解法充分利用了圓的條件解題,有的解法突破了圓的局限,適用于一般的過定點P且與二次曲線C交于A,B兩點,求AB中點M的軌跡問題,是具有普遍意義的通性通法,有一定的學習價值。