例析以“阿波羅尼斯圓”為背景的熱點考向

■山東省棗莊市第二中學 付峰峰

一、求最值

二、求參數的范圍

例2(2021 年江西省景德鎮一中高二期中卷)已知點A(-4,0),B(-1,0),

三、求定值

分析：先根據圓的切線的性質和三角形相似,得到|PO1|=2|PO|,求得點P的軌跡方程,再根據直線與圓相切,利用圓心到直線的距離等于半徑,即可求解。

解：由題意得O(0,0),O1(-4,0),不妨設P(x,y),如圖1所示。

圖1

點評:本題主要考查了圓的切線的性質,以及直線與圓的位置關系的應用,解答時先根據圓的切線的性質和三角形相似求得點P的軌跡方程,再根據直線與圓相切列出方程是解答的關鍵,著重考查了同學們的推理與運算能力,屬于中檔題。

跟蹤練習：

3.在平面直角坐標系xOy中,M,N是兩定點,點P是圓O:x2+y2=1 上任意一點,滿足|PM|=2|PN|,求|MN|的長。

解析：由于M,N是兩定點,不妨假設M,N在x軸上,如圖2所示。設M(m,0),N(n,0),P(x,y),|PM|=2|PN|,即|PM|2=4|PN|2。

圖2

四、求軌跡

五、逆用阿波羅尼斯圓

例5唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河。”詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發,先到河邊飲馬后再回軍營,怎樣走才能使總路程最短? 在平面直角坐標系