直線與圓的方程這些易錯點要避開

■河南省禹州市第一高級中學 張江輝

直線和圓的方程看似簡單,解題時其實也“暗藏殺機”,稍不留意,就會掉入陷阱。為了防患于未然,下面歸納出幾個易錯點,同學們解題時務必注意。

易錯點一：忽視直線傾斜角的取值范圍

易錯警示：在求直線傾斜角的過程中,如果遇到一些不確定的變量(如斜率、字母、角度等)時,要根據傾斜角的范圍進行合理的分類,確定出相應的傾斜角范圍。

易錯點二：判斷兩條直線位置關系時忽視斜率不存在的情況

例2(1)已知直線l1:(m-2)x-3y-1=0與直線l2:mx+(m+2)y+1=0相互平行,則實數m的值是____。

(2)若直線(a-1)x+(a+1)y+4=0與直線x+(a-1)y-1=0 互相垂直,則a的值等于____。

分析：(1)根據兩直線平行可得出關于實數m的等式與不等式,解之即可;(2)由直線垂直的條件,列出方程(a-1)×1+(a+1)(a-1)=0,求解即可。

解：(1)因為直線l1:(m-2)x-3y-1=0與直線l2:mx+(m+2)y+1=0 相互平行,所以:

易錯點三：寫直線的截距式方程時忽略截距為零的情況

易錯點四：誤解“截距”和“距離”的關系

例4與圓(x-3)2+(y-2)2=4 相

綜上所述,滿足條件的直線有三條,如圖1所示。故選C。

圖1

易錯警示：截距是指曲線與坐標軸交點的橫(縱)坐標,它是一個實數,可為正數、負數、零,而距離一定是非負數。

易錯點五：忽視直線點斜式的適用范圍

例5過點(-1,6)與圓x2+y2+6x-4y+9=0相切的直線方程為_____。

分析：先求出圓的圓心和半徑,再根據點到直線的距離公式求解。

解：對圓x2+y2+6x-4y+9=0,配方后得(x+3)2+(y-2)2=4。

例6若直線x+2y+3=0 與直線2x+my+10=0平行,則這兩條直線間的距離是_____。

分析：先運用兩條直線平行求得m的值,再運用平行線間的距離公式求得結果。

解：直線x+2y+3=0 與直線2x+my+10=0平行,則m-2×2=0,即m=4。

故直線2x+my+10=0為2x+4y+10=0,直線x+2y+3=0變形得2x+4y+6=0。

易錯警示：應用平行線間的距離公式求距離時,必須先判斷兩條直線方程中x、y系數是否相等。

易錯點七：忽視方程表示圓的條件

例7已知關于x,y的二元二次方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0,當t為_____時,方程表示的圓的半徑最大。

分析：將原方程變形為[x-(t+3)]2+[y+(1-4t2)]2=-7t2+6t+1,注意該方程表示圓時t的取值范圍。

解：x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0,即[x-(t+3)]2+[y+(1-4t2)]2=(t+3)2+(1-4t2)2-16t4-9=-7t2+6t+1。