直線與圓的方程必考的幾種題型

■河北省三河市第二中學 楊 勇

從高考命題的角度看,直線、圓的方程及位置關系問題是必考的內容,題型大多以選擇題或填空題的形式呈現,此類試題難度中等。鑒于以上高考命題特點,建議同學們必須掌握以下幾種必考題型。

一、求直線方程

點評:解決直線方程問題時應注意以下幾點。

(1)求解兩條直線平行的問題時,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出參數的值后,要注意代入檢驗,排除兩條直線重合的可能性。

(2)要注意直線方程每種形式的局限性,應用點斜式、兩點式、斜截式時,要求直線不能與x軸垂直。而截距式方程不能表示過原點的直線,也不能表示垂直于坐標軸的直線。

(3)討論兩條直線的位置關系時,要討論直線的斜率是否存在。

(4)直線與圓相切時,利用“切線與過切點的半徑垂直,圓心到切線的距離等于半徑”建立關于切線斜率的等式,一般求切線方程時多選擇點斜式。

二、求圓的方程

點評:求圓的方程一般有兩種方法。

(1)幾何法,通過研究圓的性質、直線與圓、圓與圓的位置關系,進而求得圓的基本量和方程。

(2)代數法,即用待定系數法先設出圓的方程,再由條件求得各個系數。

三、與直線或圓有關的距離問題

點評:(1)求點到直線的距離時,應先將直線方程化為一般式。

(2)求兩平行線之間的距離時,應先將兩直線方程化為一般式且x,y的系數對應相等。

(3)求曲線上任意一點到已知直線的最小距離,要利用數形結合和轉化與化歸思想解題。

四、直線與圓、圓與圓的位置關系判斷

點評:(1)直線與圓的位置關系有相交、相切和相離三種情況,判斷直線與圓的位置關系,主要通過比較圓心到直線的距離與半徑的大小。

(2)圓與圓的位置關系有五種,即內含、內切、相交、外切、外離。兩個圓的位置關系的判斷依據是兩個圓的圓心距與兩個圓的半徑差的絕對值或半徑和的大小關系。

(3)過圓外一點求解切線段長的問題,可先求出圓心到圓外點的距離,再結合半徑利用勾股定理計算。

五、直線與圓、圓與圓弦長問題

例5已知圓C1:(x-a)2+y2=4與C2:x2+(y-b)2=1(a,b∈R)交于A,B兩點。若存在a,使得|AB|=2,則b的取值范圍為____。

分析：根據圓與圓相交弦所在直線方程性質求得直線AB的方程,利用直線與圓相交弦長公式,求得a,b滿足的等式關系,根據方程有解,即可得b的取值范圍。

六、隱圓問題

例6(1)已知A(-2,0),B(2,0),點P滿足|PA|2+|PB|2=16,直線l:(m+

設定點為M(3,4),如圖1,當OM⊥l時,點P到直線l的距離最大。

圖1

圖2

(2)設M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)。

點評:(1)利用圓的定義或圓的幾何性質確定隱圓。

(2)在平面上給定相異的兩點A,B,設點P與點A,B在同一平面上,且滿足|PA|=λ|PB|,當λ＞0 且λ≠1 時,點P的軌跡是一個圓,這個圓我們稱為阿波羅尼斯圓。

(4)兩定點A,B與動點P滿足|PA|2+|PB|2是定值,點P的軌跡是隱圓。