求解橢圓離心率的常見方法

■河南省鄭州市第二高級中學(xué) 韋道田

橢圓的離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)之一,下面就求解橢圓的離心率(或取值范圍)給出幾種重要方法,供同學(xué)們參考。

一、利用橢圓離心率的定義求解

解析：(1)如圖1,切線互相垂直,又半徑OA⊥PA,所以△OAP是等腰直角三角形。因為2c=2,即c=1,所以

二、利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解

點評:利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義,可以較快地求出圓錐曲線的離心率。

三、構(gòu)造離心率的方程(不等式)求解

點評:如果直接求解橢圓離心率的值(或取值范圍)有困難,那么可以通過構(gòu)造離心率的方程(或不等式)求解。

四、利用數(shù)形結(jié)合思想求解

例4【第12屆“希望杯”試題】設(shè)F1、F2是橢圓的兩個焦點,若橢圓上存在點P,使∠F1PF2=120°,則橢圓離心率e的取值范圍是_____。

解析：如圖2,

圖2

當(dāng)點P與短軸端點B重合時,∠F1PF2最 大。 于 是 得∠F1PF2≥120°,故tan∠F1PO≥tan 60°

點評:利用數(shù)形結(jié)合思想求橢圓的離心率e,可回避繁雜的推理與計算過程。

五、利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)求解

例5【第一屆“希望杯”高二試題】橢圓的兩個焦點是F1(3,-6),F2(6,3),一條切線方程為4x=3y,這個橢圓的離心率是_____。

解析：設(shè)切點為P,切線為l,作F1、F2關(guān)于l的對稱點F1'、F2',則由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知點P是等腰梯形F1F2F2'F1'對角線的交點,對角線的長應(yīng)等于橢圓長軸的長。

由點到直線的距離公式,得F1、F2到直線l的距離分別為6、3,可見梯形上、下底長分別為6、12。 該等腰梯形的腰長即橢圓的焦距