“圓”來如此精彩

■福建省泉州市第七中學(xué) 賴呈杰 彭耿鈴

圓是平面幾何和解析幾何中重要的內(nèi)容之一,與圓有關(guān)的問題既可以從幾何角度進(jìn)行思考,又可以從代數(shù)角度進(jìn)行思考。學(xué)習(xí)圓的目的是為后續(xù)學(xué)習(xí)圓錐曲線打好基礎(chǔ)。下面對(duì)圓的題型進(jìn)行分類剖析,探究其考查方向,揭示其解題規(guī)律,希望同學(xué)們能體會(huì)到“圓”來如此精彩。

一、考查圓的方程

點(diǎn)評(píng):求圓的方程有以下兩種方法。

(1)直接法,直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,寫出方程。

(2)待定系數(shù)法:①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出a,b,r的值;②選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進(jìn)而求出D,E,F的值。

二、考查與圓有關(guān)的軌跡問題

例2已知Rt△ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0)。求:

(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程;(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程。

三、考查與圓有關(guān)的最值問題

考查點(diǎn)1 利用幾何性質(zhì)求最值

(3)x2+y2的最大值和最小值分別為____和____。

解析：原方程可化為(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)為圓心,為半徑的圓。

圖1

(2)y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距。如圖2 所示,當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí),縱截距b取得最大值或最小值。

圖2

②形如t=ax+by的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題;

③形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題。

考查點(diǎn)2 利用函數(shù)求最值

解析：如圖3,以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB邊所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(4,0),

點(diǎn)評(píng):建立函數(shù)關(guān)系式求最值時(shí),先列出關(guān)于目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法求最值。

四、考查直線與圓的位置關(guān)系

考查點(diǎn)1 位置關(guān)系的判斷

例6直線kx-y+2-k=0 與圓x2+y2-2x-8=0的位置關(guān)系為( )。

A.相交、相切或相離

B.相交或相切

C.相交

D.相切

解析：(方法一)直線kx-y+2-k=0的方程可化為k(x-1)-(y-2)=0,該直線恒過定點(diǎn)(1,2)。因?yàn)?2+22-2×1-8＜0,所以點(diǎn)(1,2)在圓x2+y2-2x-8=0 的內(nèi)部。因此,直線kx-y+2-k=0與圓x2+y2-2x-8=0相交。選C。

點(diǎn)評(píng):判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法如下。

(1)幾何法,利用d與r的關(guān)系;(2)代數(shù)法,聯(lián)立方程之后利用Δ判斷;(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法,若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi),則可判斷直線與圓相交。

考查點(diǎn)2 弦長問題

考查點(diǎn)3 切線問題

解析：由題意得圓心C(1,2),半徑r=2。

點(diǎn)評(píng):當(dāng)切線方程斜率存在時(shí),圓的切線方程的求法如下。

(1)幾何法,設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d,然后令d=r,進(jìn)而求出k;(2)代數(shù)法,設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),與圓的方程組成方程組,消元后得到一個(gè)一元二次方程,然后令判別式Δ=0進(jìn)而求得k,注意驗(yàn)證斜率不存在的情況。

考查點(diǎn)4 直線與圓位置關(guān)系中的最值(范圍)問題

例9由直線y=x+1上的一點(diǎn)向圓(x-3)2+y2=1引切線,則切線長的最小值為_____。

解析：設(shè)直線上一點(diǎn)P,切點(diǎn)為Q,圓心為M,M的坐標(biāo)為(3,0),則|PQ|即為切線

例10(多選)(2021年新高考全國Ⅰ卷)已知點(diǎn)P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上,點(diǎn)A(4,0),B(0,2),則( )。

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)∠PBA最小時(shí),|PB|=3 2

D.當(dāng)∠PBA最大時(shí),|PB|=3 2

過點(diǎn)B作圓M的兩條切線,切點(diǎn)分別為N,Q,如圖4 所示。連接MB,MN,MQ,則當(dāng)∠PBA最小時(shí),點(diǎn)P與N重 合,|PB| =

圖4

故選ACD。

五、考查圓與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng):判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法,即利用兩個(gè)圓圓心之間的距離與兩個(gè)圓半徑之間的關(guān)系進(jìn)行判斷。

在學(xué)習(xí)“圓”的知識(shí)時(shí),既要突出圓的幾何性,又要突出圓的代數(shù)性。以上五種考查圓的內(nèi)容,從不同角度合理地解決問題,引導(dǎo)同學(xué)們多視角思考,用不同方法來解決數(shù)學(xué)問題,這樣才能更好地培養(yǎng)同學(xué)們的思維品質(zhì),提高同學(xué)們的運(yùn)算能力、分析問題和解決問題的能力,從而提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。