直線與圓的高考常見題型總結

■河南省鄲城縣第一高級中學 靳 亭

直線與圓是高考的常考內容,常考查直線與圓的方程、切線方程、直線與圓的位置關系,并應用直線和圓的方程解決有關問題,常借助于幾何法和代數法解決相關問題。下面針對直線與圓的考查熱點進行梳理總結,探究題型命題規律,揭示解題方法,提供解題策略,希望對同學們的學習有所幫助。

高考熱點1 直線與圓的方程

(方法二)由于只要求寫出其中一個圓的方程,我們寫最簡單的一個。設O(0,0),A(4,0),B(4,2),可知OA⊥AB,所以以OB為直徑的圓就是過點O,A,B的圓。因為OB的中點為(2,1),|AB|=,所以過點O,A,B的圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=5。

例2(2019 年江西高考)設直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),對于下列四個命題:

A.M中所有直線均經過一個定點

B.存在定點P不在M中的任一條直線上

C.對于任意整數n(n≥3),存在正n邊形,其所有邊均在M中的直線上

D.M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等

其中真命題的代號是_____(寫出所有真命題的代號)。

解析：容易知道M表示圓x2+(y-2)2=1的所有切線。

對于A:任意點(x,y),若x2+(y-2)2≥1,方 程xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),θ有有限個解;若x2+(y-2)2＜1,方程xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),θ無解。因此經過任意點的直線均為有限個。

對于B:(0,2)不在任一直線上。

對于C:做圓x2+(y-2)2=1的外切正n邊形即可。(將正n邊形的中心置于(0,2),中心到邊的距離設為1,此正n邊形即滿足題意)

對于D:注意到任意三條直線若能圍成一個正三角形,存在兩種情況,面積不一定相等。填BC。

高考熱點2 直線與圓的位置

例3(2021年新高考Ⅱ卷)已知直線l:ax+by-r2=0 與 圓C:x2+y2=r2,點A(a,b),則下列說法正確的是( )。

A.若點A在圓C上,則直線l與圓C相切

B.若點A在圓C內,則直線l與圓C相離

C.若點A在圓C外,則直線l與圓C相離

D.若點A在直線l上,則直線l與圓C相切

解析：轉化點與圓、點與直線的位置關系為a2+b2、r2的大小關系,結合點到直線的距離及直線與圓的位置關系即可求解。

故選ABD。

例4(2020 年全國Ⅱ卷)若過點(2,1)的圓與兩坐標軸都相切,則圓心到直線2x-y-3=0的距離為( )。

解析：因為圓上的點(2,1)在第一象限,若圓心不在第一象限,則圓至少與一條坐標軸相交,不滿足題意,所以圓心必在第一象限。

設圓心的坐標為(a,a),則圓的半徑為a,圓的標準方程為(x-a)2+(y-a)2=a2。

由題意得(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5。

高考熱點3 直線與圓的對稱和相切問題

兩圓的方程相減可得2x+y+1=0,即為直線AB的方程。

故選D。

高考熱點4 直線與圓的最值

例10(2012年北京大學等十三校聯考自主招生試題)若點C在圓x2+y2-2x=0上,點A坐標為(-2,0),點B坐標為(0,2),則△ABC面積的最小值為( )。

高考熱點5 直線與圓的軌跡

例11已知點O(0,0),B(m,0)(m＞0),動點P到O、B的距離之比為2∶1,求:

(1)P點的軌跡方程。

(2)當P點在什么位置時,△POB的面積最大? 并求出最大面積。