借假設之法 悟解題之理

陶軍華 彭進武

“利用抽象的‘1解決實際問題”是人教版數學六年級上冊第三單元的例7。本課時旨在借助估測、假設、遷移應用等方法，引導學生找出題目背后的數量關系，得出解決工程問題的基本策略。

一、借助估測，感受解決問題的合理性

工程問題中有三個重要的量，分別是工作時間、工作效率和工作總量，理清這三個量的內涵以及它們之間的關系至關重要。筆者通過估測活動，引導學生感受解決工程問題的合理性。

上課伊始，筆者先用課件呈現題目：“一條長3600米的道路，甲隊平均每天修300米。甲隊修完全程需要多少天？”出示題目后，筆者設疑：“題中涉及的幾個量有著怎樣的數量關系？如何解答？一名學生回答：“題中的數量關系是‘工作總量÷工作效率＝工作時間，列式‘3600÷300=12（天）解答。”接著，筆者將上題變式為“一條長3600米的道路，甲隊平均每天修300米，乙隊平均每天修200米。如果兩隊同時從兩端開工合修，多少天能修完？”另一名學生回答：“這道題列式為‘3600÷（300+200）=7.2（天）。”然后，筆者將上題變式成例7：“一條道路，如果甲隊單獨修，12天能修完；如果乙隊單獨修，18天能修完。如果兩隊合修，多少天能修完？”學生閱讀后，筆者讓學生估測結果，一名學生說：“我估計兩隊合修時間為（12+18）÷2=15（天）。”另一名學生反駁：“不對。因為甲隊單獨修只要12天，所以兩隊合修的時間不可能大于12天。”筆者總結：“沒錯，兩隊合修的時間不可能超過它們單獨修所用的時間。”

經歷了估測過程，學生不僅對結果有了初步判斷，初步感知到問題的解決是否合理，而且能體會到解題的基本思路，為深入探究工程問題的解決方法奠定了基礎。

二、借助假設，感悟解決問題的多樣性

工程問題的解決需要我們透過各種現實生活中的表象，找出隱藏其中的數量關系。教師引導學生嘗試用假設的方法解決實際問題，感悟解決工程問題方法的多樣性。

課堂上，筆者引導學生進一步分析例7的條件和問題。學生結合已有經驗，發現例題中只有“如果甲隊單獨修，12天能修完；如果乙隊單獨修，18天能修完”的已知信息，好像缺少某個條件，似乎無法解答。筆者順勢指明思考方向：請以小組為單位，假設一個具體數來表示這條道路的長，再嘗試解答，并完成如下學習報告單。

學習報告單

假設這條道路長____________；

甲隊每天修：____________；

乙隊每天修：____________；

兩隊合修，每天修：____________；

兩隊合修需要的天數：____________。

學生在小組中討論假設的方法，并交流解題過程的結果，討論出如下4種假設方法。第一種方法，假設道路長3600米，則甲隊每天修“3600÷12＝300”米，乙隊每天修“3600÷18＝200”米，兩隊合修，每天修“300+200＝500”米，所以，兩隊合修需要“3600÷500=7.2”天。第二種方法，假設道路長36千米。則甲隊每天修“36÷12＝3”千米，乙隊每天修“36÷18＝2”千米，兩隊合修，每天修“3+2＝5”千米，所以，兩隊合修需要“36÷5=7.2”天。第三組學生商討后提出第三種方法，假設道路長18千米，則甲隊每天修“18÷12＝1.5”千米，乙隊每天修“18÷18＝1”千米，兩隊合修，每天修“1.5+1＝2.5”千米，所以，兩隊合修需要“18÷2.5=7.2”天。這時，還有學生提出“假設道路長是1，則甲隊每天修[1/12]，乙隊每天修[1/18]，兩隊合修，每天修‘[1/12]+[1/18]＝[5/36]，所以，兩隊合修需要‘1÷[5/36]=7.2天。”這種假設也成立。

筆者總結：“無論假設道路總長是多少，算出來的總天數都是相同的，即兩隊合修需要的時間與道路總長是多少沒有直接關系。這是因為問題中的什么量是不變的？”學生再次交流、討論后明確：雖然我們假設的這條道路的總長是不同的，但是兩隊每天修的長度占這條道路總長的幾分之一是不變的，即甲隊每天修這條道路的[112]、乙隊每天修這條道路的[118]是不變的，所以合修需要的時間也不會變。筆者再次總結：“對于工程問題，把‘一條道路抽象成‘1來解決問題，計算比較簡便。抽象的‘1既可以是‘一項工程‘一條水渠，也可以是‘一批貨物‘一池水等。”

最后，筆者引導學生依次驗證上述解決問題的方法。第一小組代表說：“因為（3600÷12+3600÷18）×7.2=3600（米），3600米與我們假設的總長是相等的，所以，我們組的作答正確。”第二小組代表接著說：“因為（36÷12+36÷18）×7.2=36（千米），36千米與我們組假設的總長一樣，所以，我們組的作答也是正確的。”“因為（[1/12]+[1/18]）×7.2＝1，1與假設的總長一樣，所以，我們組的作答同樣正確”，第四小組代表補充。

教師通過引導學生假設道路總長，把抽象的問題具體化，使復雜的數量關系簡單化。

三、借助應用，感知解決問題的一致性

工程問題的題型很豐富，包括行程問題、泄洪問題、做工問題等。筆者充分運用教材提供的素材，設計了以下三個比較活動，引導學生感知不同類型的工程問題之間的內在聯系。

活動一：交流比較，辨析相同點

筆者用課件呈現教材第41頁的“做一做”，引導學生發現“變中有不變”。

一批貨物，只用甲車運，6次能運完；只用乙車運，3次能運完。如果兩輛車一起運，多少次能運完這批貨物？

一名學生回答：“這道題中除了‘一批貨物與例題中的‘一條道路都可以用抽象的‘1表示這一點相同，還有兩車每天運的貨物占這批貨物的幾分之一與例題中的條件也有一致性，所以，這道題應列式‘1÷（[1/6]+[1/3]）=2（次）解答。”

活動二：討論比較，體驗相似處

筆者接著呈現教材第42頁第7題。

甲車從A城市到B城市要行駛2小時，乙車從B城市到A城市要行駛3小時。兩車同時分別從A城市和B城市出發，相向而行，幾小時后相遇？

學生經過比較、討論后回答：“甲、乙兩車幾小時行駛完全程與例題中不同的施工隊幾天可以把路修完是相似的，所以，這道題與例題中的數量關系也相似，應列式‘1÷（[1/2]+[1/3]）＝1.2（小時）解答。”

活動三：引導比較，感知可比性

最后，筆者呈現教材第43頁第8題。

某水庫準備打開泄洪口調節水位。只打開A口，8小時可以完成任務；只打開B口，6小時可以完成任務。如果兩個泄洪口同時打開，幾小時可以完成任務？

一名學生回答：“水庫中水的總量相當于道路的總長，不同的泄洪口幾小時把水放完相當于不同的施工隊幾天把路修完，所以，這道題的數量關系與例7也是一致的，應列式‘1÷（[1/8]+[1/6]）＝[24/7]（小時）解答。”

經歷以上比較活動，學生把工程問題的解題策略遷移到做工問題、相遇問題、泄洪問題中，認識到解決問題策略的一致性。

（作者單位：應城市楊嶺鎮中心小學）

責任編輯? 張敏