“分數工程問題”教學思考與實踐

劉春紅

工程問題指與工程建造有關的數學問題，在數學學科教學中，不僅限于工程方面的問題，也包括行路、水管注水等問題。工程問題的教學有利于學生體會知識之間的內在聯系，提高分析和解決問題的能力，感悟解決問題方法的開放性和多樣化。教學中，如何讓學生理解把工作總量看作單位“1”的工程問題的基本特點，掌握用假設法解決分數工程問題的思路與方法？如何通過自主探究、評價交流等學習活動，培養學生分析、比較、綜合、概括等思維能力？本期，我們討論如何更好地教學工程問題。

分數工程問題的教學核心是幫助學生建構單位“1”的模型，用分數表達工作效率。筆者在“分數工程問題”的教學實踐中，引導學生提取關鍵信息并進行類比，經歷把工作總量看作單位“1”、把工作效率“分數化”的抽象過程，進而發展數學思維，掌握數學方法。

一、歸納問題本質，建構模型

單位“1”模型的建立對學生來說并非全新的教學內容，而是前期在“認識分數”教學中已學習的核心概念。課堂上，筆者引導學生通過歸納多個問題的解答方法，生成單位“1”，進而明確工作總量是單位“1”、工作效率是“時間的倒數”的工程問題基本特點。

首先，筆者出示以下題目，讓學生解答。

①6個蘋果，3人分，平均每人可分得幾分之幾？

②9個蘋果，3人分，平均每人可分得幾分之幾？

出示題目后，筆者提問：為什么蘋果總數不同，平均每人分得的幾分之幾卻相同？學生回答：把蘋果總數看作整體“1”，平均每人分得的是整體“1”的[1/3]，不管蘋果的總數是多少，它都是一個整體單位“1”，學生分得的份數與總數無關。以上教學為學生建模奠定了基礎。

接著，筆者出示另一組類比題目，讓學生解答。

①一條道路長360米，如果甲隊單獨修，12天能修完；如果乙隊單獨修，18天能修完。如果兩隊合修，多少天能修完？

②一條道路長180米，如果甲隊單獨修，12天能修完；如果乙隊單獨修，18天能修完。如果兩隊合修，多少天能修完？

③一條道路長100米，如果甲隊單獨修，12天能修完；如果乙隊單獨修，18天能修完。如果兩隊合修，多少天能修完？

學生通過分組討論，對這3道題分別作出如下解答：①360÷（360÷12+360÷18）=7.2（天）；②180÷（180÷12+180÷18）=7.2（天）；③100÷（100÷12+100÷18）=7.2（天）。筆者引導學生思考：為什么總長度變了，合作的時間卻沒變？學生小組共研，一下子抓到了題組中“變與不變”的數量信息。有的學生說：“甲、乙單獨工作的時間不變，甲隊每天完成整條道路長度的[1/12]、乙隊每天完成整條道路長度的[1/18]也不變，所以不論總長度是多少，合修天數都是一樣的。”有的學生說：“可以把道路的長度看作整體‘1，總長度這個條件就相對不是很重要了。”筆者抓住時機提問：道路的長度可以是其他數據嗎？如果將總長設定為a米，你能快速計算出合作的天數嗎？學生嘗試計算后，發現道路長度可以是任意的數，結果不會變。以上學習中，學生對題干中的變量展開研究，對分數工程問題有了更深的認知，提升了數學抽象能力。

最后，筆者引導學生進行知識遷移，促進模型思想的生成。如，把題目改為“一條道路，如果甲隊單獨修，12天能修完；如果乙隊單獨修，18天能修完。如果兩隊合修，多少天能修完？”讓學生解答。學生用“1÷（[1/12]+[1/18]）=7.2（天）”作答，發現結果與前面的題目結果一致。筆者引導：“這里的單位‘1從哪里來的，表示什么？”學生回答：“這條道路是一個整體，可以看作單位‘1，甲隊每天修它的[1/12]，乙隊每天修它的[1/18]，兩隊每天合修它的‘[1/12]+[1/18]。”

學生在比較、交流和遷移運用中建構了單位“1”，形成“1÷（[1/A]+[1/B]）=n”的工程問題模型，積累了數學經驗，豐富了數學思考和數學表達。

二、結合問題變式，運用模型

模型建立之后，學生的認知還需要通過各種變式問題的解決加以深化，這樣才能達到運用模型的目標。

首先，筆者設計如下情境問題，讓學生抓本質、揭關聯。

①零件生產問題：加工一批零件，師傅單獨完成需要20天，徒弟單獨完成需要30天，兩人合作需要幾天完成？

②相遇問題：甲、乙兩輛汽車分別從兩城同時相對開出，甲車從A城開往B城需要3小時，乙車從B城開往A城需要5小時。兩車經過幾小時相遇？

③桌椅配套問題：總務處主任帶著一些錢去購置桌椅，這些錢全買桌子可買50張，全買椅子可買75把，這些錢能買多少套桌椅？（一張桌子配一把椅子為一套）

在筆者的引導下，學生讀題并理清“工作總量是誰、把誰看作單‘1、工作效率是誰、誰占工作總量的幾分之幾”等問題。隨后，學生作答：第①題中，零件總數相當于工作總量，師徒的工作效率分別為[1/20]、[1/30]，列式“1÷（[1/20]+[1/30]）”解決問題；第②題中，兩城的距離相當于工作總量，工作效率是兩車速率，即[1/3]和[1/5]，列式“1÷（[1/3]+[1/5]）”解決問題；第③題中，總務處主任帶的總錢數相當于工作總量，工作效率為每張桌椅所占總錢數的比率，即[1/50]和[1/75]，列式“1÷（[1/50]+[1/75]）”解決問題。筆者追問：解答這些題目的共同點是什么？學生回答：這些題目都是將總量看作單位“1”，工作效率是對應總量的分率。由此，學生理解了總量、工作效率在不同情境中的具體含義。

接著，筆者用“添枝加葉”法，引導學生深化理解工作效率。筆者出示題目：“一項工程，甲單獨完成需要16天，乙單獨完成需要18天，丙單獨完成需要12天。工程經理安排他們合作完成工程，有幾種合作方式？每種合作方式的工作效率如何計算？（只列式不計算）學生很快找出以下4種方式：甲、乙共同完成的工作效率為“[1/16]+[1/18]”，甲、丙共同完成的工作效率為“[1/16]+[1/12]”，乙、丙共同完成的工作效率為“[1/18]+[1/12]”，甲、乙、丙共同完成的工作效率為“[1/16]+[1/18]+[1/12]”。學生在理解模型的基礎上，通過不斷辨認、組合，深刻領悟了總量、效率和時間三者之間的關系。

最后，筆者用“缺斤少兩”法強化學生對單位“1”的認知。筆者先出示題目：一項工程，甲單獨完成需要20天，乙單獨完成需要30天，兩人合作完成工程的一半需要幾天？學生用“[1/2]÷（[1/20]+[1/30]）”作答后，筆者繼續提問：“為什么用[1/2]做被除數？完成的工作量變了，為什么工作效率沒有變？”學生討論后得出：題目要求完成工程總量的一半，即單位“1”的[1/2]；工作效率指每天完成整個工程的幾分之幾，這個效率是不變的。筆者接著問：如果是甲單獨完成工程的一半用20天，它的工作效率如何表示？學生很快得出：完成一半用20天，完成整個工程就需要40天，甲的工作效率為[1/40]。單位“1”的變化打破了學生的固有思維，讓學生對模型的理解達到了更高的層次，實現了知識的融會貫通。

（作者單位：荊州市公安縣實驗小學）

責任編輯? 張敏