課堂自然生成　學(xué)生必然成長(zhǎng)

尹雪山

［摘 要］“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”是特級(jí)教師卜以樓提出的教學(xué)主張，它強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要培育思維“生長(zhǎng)”的“種子”。教師要教給學(xué)生具有生長(zhǎng)力的數(shù)學(xué)，以回歸教育本質(zhì)、反哺生命成長(zhǎng)和彰顯數(shù)學(xué)力量。

［關(guān)鍵詞］生長(zhǎng)數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；幾何定理

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）20-0011-03

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過：“學(xué)習(xí)任何東西的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn)。”這句話用在幾何定理的推導(dǎo)及應(yīng)用上尤為貼切，學(xué)生要想靈活運(yùn)用幾何定理就必須自己去了解它的來龍去脈，去發(fā)現(xiàn)它的本質(zhì)與內(nèi)涵。在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生為了應(yīng)付解題而將更多的時(shí)間花在了幾何定理的應(yīng)用上，并不注重對(duì)幾何定理的推導(dǎo)。平面幾何是訓(xùn)練學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)和邏輯推理能力的重要載體，如果在幾何教學(xué)中教師沒有讓學(xué)生深層次地理解幾何定理的由來而過多地將時(shí)間花在幾何定理的應(yīng)用上，將不利于學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展以及思維能力的培養(yǎng)。那么如何讓幾何定理教學(xué)變得更加順暢，讓幾何定理自然生成呢？下面筆者結(jié)合自己設(shè)計(jì)的一節(jié)公開課談?wù)劸唧w做法。

一、幾何定理教學(xué)的一些問題

（一）定理推導(dǎo)走過場(chǎng)

教師在教學(xué)時(shí)只注重定理的應(yīng)用，而忽略了定理的推導(dǎo)，從而導(dǎo)致學(xué)生機(jī)械化應(yīng)用定理，當(dāng)題目稍微復(fù)雜或者稍作變式時(shí)就會(huì)無從下手。因此，在教學(xué)時(shí)教師應(yīng)該注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理進(jìn)行推導(dǎo)，使學(xué)生深層次理解定理。

（二）定理理解不深刻

當(dāng)教師以“定理公式＋例題”的模式對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練后，學(xué)生大多記下了定理的文字表述，但沒有了解其來龍去脈和本質(zhì)內(nèi)涵，導(dǎo)致學(xué)生無法靈活應(yīng)用定理，或在應(yīng)用定理時(shí)容易出現(xiàn)表述不完整的情況。

（三）學(xué)生應(yīng)用定理不靈活

在解題時(shí)，學(xué)生雖然已經(jīng)掌握了定理的本質(zhì)但是不能靈活應(yīng)用其解決問題，甚至有的學(xué)生認(rèn)為定理與問題關(guān)聯(lián)不大，導(dǎo)致解題時(shí)未選用定理，究其原因：一是沒有深刻領(lǐng)悟定理的本源，二是缺乏對(duì)定理的相關(guān)變式訓(xùn)練。

二、教學(xué)片段及分析

“三角形內(nèi)角和定理”是蘇科版七年級(jí)下冊(cè)第十二章中的內(nèi)容，縱觀整個(gè)初中數(shù)學(xué)教材，這部分內(nèi)容是學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)到的涉及利用輔助線證明定理的首節(jié)課，為后續(xù)多邊形的內(nèi)角和與外角和定理的證明做好鋪墊，有著承上啟下的作用。下面以“三角形內(nèi)角和定理”的教學(xué)為例進(jìn)行分析。

片段1：情境引入

師：同學(xué)們，阿基米德看到木塊浮在水上，于是發(fā)現(xiàn)了浮力定律；牛頓被樹上掉下的蘋果砸了一下，從而發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。所以在生活中，許多結(jié)論其實(shí)是已經(jīng)存在的客觀事實(shí)，而人們通過探索，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在原理，用科學(xué)理論解釋現(xiàn)象后歸納形成定理，并將定理應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)生活中，最終造福人類。

師：三角形的內(nèi)角和是多少度呢？

生（全體）：180°。

師：為什么？

師：大家還記得小學(xué)時(shí)我們是如何證明三角形內(nèi)角和為180°的嗎？（出示一張三角形紙片）

學(xué)生提供了多種思路。如拼一拼，剪下三角形的三個(gè)角，然后將它們拼在一起，看拼出來的是不是平角；量一量，用量角器分別量出三個(gè)角的度數(shù)，然后加在一起看是不是180°。

師：平角的度數(shù)是180°，我們已學(xué)的知識(shí)點(diǎn)中，還有哪些地方出現(xiàn)了180°呢？

學(xué)生回顧以前所學(xué)知識(shí)，很容易想到在“平行線性質(zhì)”一節(jié)中出現(xiàn)了“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”。

教學(xué)分析：讓學(xué)生回顧小學(xué)時(shí)對(duì)三角形內(nèi)角和的探索思路，既照顧了大部分學(xué)生，又讓一部分學(xué)生有了小小的成就感，并且讓學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角和的探索回歸到了“源頭”，即用拼圖法這一思路作為證明三角形的內(nèi)角和為180°的“方向”。有了“源頭”和“方向”，學(xué)生在后續(xù)的證明中才可以盡量避免思維“卡殼”。本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)貼合學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，用適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)做鋪墊，保障后續(xù)對(duì)定理探索的自然生成。

片段2：探索研究

教師提前發(fā)放給學(xué)生形狀及大小相同的三角形卡紙和剪刀，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下操作：將三角形紙片的三個(gè)角剪下來，并在每個(gè)角涂上不同的顏色。

問題1：將三角形的三個(gè)角搬到一起，你有哪些搬法？

學(xué)生一一分享不同的拼法，總結(jié)出拼角的核心就是將三個(gè)角的頂點(diǎn)搬到一起。

問題2：在紙片上我們可以將三個(gè)角搬到一起，如果是在平面圖形上，又該如何將三個(gè)角搬到一起呢？

學(xué)生提供多種方法，如用量角器測(cè)量?jī)蓚€(gè)角的度數(shù)，然后再利用量角器作出這兩個(gè)已知大小的角并將它們畫在第三個(gè)角兩側(cè)；用尺規(guī)作圖法作三角形中兩個(gè)已知角，并將它們放在第三個(gè)角兩側(cè)。

師：接下來要證明什么呢？

生：只要證明所作的兩個(gè)角的兩邊在一條直線上即可。

師：怎么證明在一條直線上？

師：我們剛才的操作過程是先“搬角拼角”，然后想辦法證明拼出來的角是平角，這個(gè)方法在證明拼出來的角是平角時(shí)無法進(jìn)行下去，我們能不能調(diào)換一下順序，先構(gòu)造平角然后再“搬角”呢？

問題3：在平面圖形中如何構(gòu)造平角？

生：畫一條直線就可以出現(xiàn)平角。

問題4：我們可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造出我們需要的圖形，在三角形中如何具體地構(gòu)造輔助線并將三角形中的兩個(gè)角搬到一起呢？

生：如圖1，作BC延長(zhǎng)線CD，過點(diǎn)[C]作CE∥AB。

師：你能說說這樣做的目的嗎？

生：先構(gòu)造出180°的平角，然后再來搬角。

師：如何實(shí)現(xiàn)“搬角”呢？

生：根據(jù)“兩直線平行，同位角（內(nèi)錯(cuò)角）相等”，在操作中通過畫平行線構(gòu)造出等角。

師：接下來只要證什么就行了？

生：證明[∠ACD] 等于[∠A]與[∠B]兩個(gè)角的和。

問題5：?jiǎn)栴}2和問題3中的搬角思路有何區(qū)別？你有哪些解題經(jīng)驗(yàn)？

學(xué)生說出自己的想法：?jiǎn)栴}2是先搬角再證明組成的角是180°，但是行不通。問題3是先構(gòu)造180°的角再搬角，可以完成證明。通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線可以將新問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，最終將新問題解決，所以在解決問題時(shí)要抓住本質(zhì)。本題的核心是構(gòu)造180°的角和等角，然后再進(jìn)行搬角。

問題6：還有沒有其他的輔助線構(gòu)造法？

生：如圖2所示，過點(diǎn)A 作DE∥BC。

生：如圖3所示，過點(diǎn)A 作AD∥BC。

問題7：剛才的幾種方法有什么共同點(diǎn)？

生：都是將三角形中的某個(gè)角的頂點(diǎn)搬到另一個(gè)角的頂點(diǎn)處。

問題8：剛才的方法都是將某個(gè)角的頂點(diǎn)搬到另一個(gè)角的頂點(diǎn)處，如果將三個(gè)角的頂點(diǎn)都搬到其他位置呢？

學(xué)生展示出多種方法：

如圖4所示，過點(diǎn)D作DE∥BC，DF∥AC。

如圖5所示，過點(diǎn)O作DE∥AC，F(xiàn)G∥BC，HI∥AB。

如圖6所示，過點(diǎn)O作OD∥BC，OE∥AB，F(xiàn)G∥AC。

圖4是將幾個(gè)角的頂點(diǎn)搬到三角形的邊上，圖5是將幾個(gè)角的頂點(diǎn)搬到三角形的內(nèi)部，圖6是將幾個(gè)角的頂點(diǎn)搬到三角形的外部。

抓住問題的本質(zhì)，我們就可以靈活多樣地采取多種方法解決問題。

教學(xué)分析：在引導(dǎo)學(xué)生解決問題后，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生“反思”論證方法，并抓住問題本質(zhì)，讓學(xué)生自行探索出更多的方法。本環(huán)節(jié)中一系列層層遞進(jìn)的提問設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了新課標(biāo)中的“基本方法”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”思想。通過師生總結(jié)，最終歸納出解決這一問題的通法，培養(yǎng)了學(xué)生歸納總結(jié)的能力。

片段3：定理剖析

問題：三角形內(nèi)角和定理的條件和結(jié)論分別是什么？對(duì)于結(jié)論，我們可以進(jìn)行怎樣的轉(zhuǎn)化？轉(zhuǎn)化后有什么用？

生：定理的條件是“在一個(gè)三角形中”，結(jié)論是“這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180°”。如果是在[△ABC]中，那么就可以得到[∠A+∠B+∠C=180°]。

師：[∠A+∠B+∠C=180°]還可以轉(zhuǎn)化為什么形式？

學(xué)生給出多種轉(zhuǎn)化形式：[∠A=180°-∠B-∠C]；[∠A=180°-（∠B+∠C）]；[∠A+∠B=180°-∠C]。

師：這些公式有什么用？

生：知道三角形中兩個(gè)角的度數(shù)就可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；知道三角形中兩個(gè)角的和也可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；知道一個(gè)角的度數(shù)也可以反推出另外兩個(gè)角的度數(shù)之和。

教學(xué)分析：對(duì)定理的深入剖析常被忽略，教師在教學(xué)時(shí)往往探索完定理就轉(zhuǎn)入例題訓(xùn)練，對(duì)定理本質(zhì)不進(jìn)行深挖和外延，導(dǎo)致學(xué)生解題時(shí)出現(xiàn)思維“卡殼”。讓學(xué)生互相提問解題，既增加了學(xué)生之間的互動(dòng)，也提高了學(xué)生的課堂參與度。在本環(huán)節(jié)中，學(xué)生的思維得到了訓(xùn)練，對(duì)定理的不同變式有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，在解決各類以不同形式呈現(xiàn)條件的問題時(shí)能做到游刃有余。

片段4：變式訓(xùn)練

為了深化學(xué)生對(duì)定理的理解，需要通過一系列變式訓(xùn)練優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知。

例題：如圖7所示，[△ABC]的角平分線[BD]、[CE]相交于點(diǎn)[P1]，[∠A=70°]，求[∠BP1C]的度數(shù)。

變式1：如圖7所示，[△ABC]的角平分線[BD]、[CE]相交于點(diǎn)[P1]，[∠A=α°]。（1）求[∠BP1C]的度數(shù)；（2）直接寫出[∠BP1C] 與 [∠A] 的關(guān)系。

變式2：如圖8所示，[△ABC]的角平分線[BD]、[CE]相交于點(diǎn)[P1]，[∠1]和[∠2]的角平分線相交于點(diǎn)[P2]，直接寫出[∠BP2C]與[∠A]的數(shù)量關(guān)系。

師：我們都知道，在解決問題時(shí)，主要有兩種思路，一個(gè)是從條件出發(fā)向著結(jié)論層層推進(jìn)，另一個(gè)是從結(jié)論出發(fā)逆向推導(dǎo)去尋找結(jié)論所需要的條件，例題及變式中要求[∠BP1C]的度數(shù)，你想用哪種思路？

該提問中，例題的條件清晰，思維量不大，無論是正向還是逆向都很好解決。變式1是在例題的基礎(chǔ)上將[∠A]的度數(shù)從特殊變?yōu)橐话悖兪?則是在變式1的基礎(chǔ)上進(jìn)一步平分三角形的兩個(gè)內(nèi)角。當(dāng)題目條件變得復(fù)雜，從已知條件入手解題時(shí)方向不明確，可以從問題出發(fā)，逆向推導(dǎo)。

教學(xué)分析：課堂上對(duì)定理的證明與深度剖析是學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系的重要一步，基礎(chǔ)牢固了才能解決問題。一節(jié)課的時(shí)間有限，如何在有限的時(shí)間內(nèi)提高學(xué)生對(duì)定理的應(yīng)用水平顯得尤為重要。本環(huán)節(jié)設(shè)置了一道例題和兩道變式訓(xùn)練題，從特殊到一般，從簡(jiǎn)單的圖形到復(fù)雜的圖形，如果課堂時(shí)間充裕，教師可以進(jìn)一步拓展提問：“如果此時(shí)對(duì)三角形的兩個(gè)內(nèi)角進(jìn)行[n]等分，[∠BPnC]與[∠A]的關(guān)系又是什么？”用難度由淺入深的幾道題目引導(dǎo)學(xué)生深入感悟本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)，這符合學(xué)生的思維特點(diǎn)，也能讓學(xué)生的邏輯推理能力進(jìn)一步提升。

課堂教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)與落腳點(diǎn)就是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的生成過程。在教學(xué)中，教師既要及時(shí)抓住教學(xué)契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生思考，又要關(guān)注課堂探索的過程；既要讓學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，又要讓學(xué)生提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成數(shù)學(xué)思維。

一節(jié)課的時(shí)間有限，教師面對(duì)考試升學(xué)壓力時(shí)往往會(huì)將注意力放在公式化套用解題上，而不愿意將課堂時(shí)間過多地放在定理論證上。但從學(xué)生發(fā)展以及后續(xù)書本上涉及的更高難度的幾何知識(shí)的角度看，教師必須將幾何定理證明的第一課上透，為學(xué)生掌握后續(xù)復(fù)雜的幾何知識(shí)點(diǎn)奠定基礎(chǔ)。

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［1］? 卜以樓.“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的愿景［J］.江蘇教育，2017（11）：33-35.

［2］? 卜以樓.生長(zhǎng)數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)教學(xué)的理性回歸：第七期《中國(guó)數(shù)學(xué)教育》名師講堂“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”主題網(wǎng)絡(luò)研討記［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2017（9）：2-8.

［3］? 王亞權(quán).注重積累，學(xué)會(huì)聯(lián)想，善于反思：湊好數(shù)學(xué)解題的“三部曲”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（1）：12-15.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）