轉化與化歸思想在初中數學中的應用

譚莉

摘 ?要：數學思想是指在現實生活中對各類數學理論形成的本質認知，體現了數學學科中的總結性、廣泛性和奠基性的特點。教師研究數學學科的思想和方法，有助于提高課堂教學的效率、發展和改善學生的認知結構。數學的思想和方法，包括轉化與化歸、數形結合、分類與討論、函數與方程。數學問題的研究與求解過程，是一種從未知到已知的變化過程，即通過聯想和類比分析數學問題，選擇合適的方式進行演化，最終確定比較合理、容易的解決方法。教師將轉化與化歸思想應用到初中數學的教學活動中，有利于學生掌握數學知識以及解題技巧。

關鍵詞：轉化與化歸；初中數學；學習能力

轉化與化歸思想在初中數學課堂教學中的應用，能夠使學生掌握有效解決數學問題的技巧和方法，促進學生對數學問題的探索實踐，顯著提高學生的綜合學習能力。

在改革數學教學模式的過程中，教師可以從轉化與化歸思想在數學教學中的應用，探索教學改革的創新措施，使學生能夠掌握數學學習的技巧和方法，并主動探索和實踐課程知識。

一、轉化與化歸思想概述

轉化與化歸思想是一種基本的數學思想，在解決、研究數學問題時，這種思想使用了相對科學、規范化的手段和方法來解決數學問題。數學問題的解決是從困難到簡單的過程，簡單而言，轉化與化歸思想是把忽視的問題轉化為熟悉的問題，簡化復雜的數學知識，將多維問題轉化為一維、二維問題。收斂思維涉及目標、方法和對象，學生通過了解這三個領域，能夠更好地用簡化的方法解決復雜的數學問題。

初中數學包括許多數學思想，如正統思想等。如果中學數學能夠在學校教育中靈活運用上述思想，學生就可以更好地理解相關的數學知識，學習能力也將越來越好。中學數學的大部分知識點都是抽象的，學生在學習和理解上會經常遇到困難，教師在學習上應用轉化與化歸思想，能夠使抽象的知識點更易于理解。初中生會經常遇到幾何、公式問題，如果學生能夠在數學學習過程中應用轉化與化歸思想，能夠更好地理解和解決相關數學問題。

二、研究轉化與化歸思想教學的必要性

在初中數學的教科書中，包含了大量轉化與化歸思想的內容。學生在掌握有理數的基礎上，可以用加法、減法、除法、乘法，以及二元一次方程的代入法來求出加、減、乘、除的結果；也可以運用加減法、一元一次方程或分式方程求出整式方程。學生在證明平行四邊形的對角、對邊相等時，可以連接對角線，將平行四邊形轉化為兩個全等的三角形，從而得到平行四邊形的對角、對邊相等的結論；利用相似比和直角三角形函數的簡單應用，來求解直角三角形，在適當的條件下，也可以將非直角三角形轉化成直角三角形。

轉化與化歸思想在中學數學中隨處可見，因此教師在教學的過程中，應進行更高層次的理解，甚至要結合數學知識結構的橫向和縱向聯系，有意識地將轉化與化歸思想滲透到數學的教學中，并在教學過程中對這種思想進行編輯和改造。轉化是一種將困難問題轉變為可以解決、具有更明確客觀特征問題的方法。“數”與“形”的結合是幾何與代數的相互變換，但有些問題在變換后無法立即解決，因此需要重新變換。化歸的概念也可以用于簡化計算，一般而言，中學數學課中常用化歸的思想來解決代數問題，用轉化的思想來證明幾何問題。

三、初中數學中應用轉化與化歸思想存在的問題

（一）知識銜接困難

轉化與化歸思想是一種不斷變化的思維方式，它將陌生、難解的題目轉化為熟悉、有規律和淺顯的題目，方便學生在學習過程中解決未知的問題。形成這種思想不僅需要學生有系統的知識結構和框架，還需要學生掌握新舊知識間的聯系，以獲得相關的信息并及時解決新的問題。如果學生掌握的知識不夠系統，轉化和化歸的過程就會受阻，無法把掌握的知識精確地聯系在一起，找不到解題的突破口。

（二）應用意識較弱

轉化與化歸思想的主要目的是通過分析、觀察、類比和聯想等，將未知問題轉化為已知的知識領域，并最終解決問題。但在現實中，大部分學生往往無法解決數學問題，很難將問題轉化為他們熟悉、已經掌握的數學知識和方法。一些學生應用數學公式、理論等來解決問題，而不分析與問題有關的已知和未知條件之間的關系，或者缺乏知識轉換的意識。這嚴重限制了學生解決問題的有效性和正確性。

四、轉化與化歸思想在初中數學中的應用策略

在對初中數學教學活動進行創新設計的過程中，教師應有意識地探索轉化與化歸思想的多元化應用，啟發學生對數學知識的多維度思考和探究，從而進一步提高學生學習和掌握數學知識的能力。

（一）培養學生的知識整合

在實踐中，教師可以集中精力增強學生的意識，幫助學生發展創造性的思想，從而將教學材料、主題和歸屬感充分地結合起來。前文從多重方程轉化為一元方程的內容就充分反映了轉化與化歸的思想。在教學過程中，教師不能簡單地通過讓學生熟悉解決這些問題的方法、概念和知識，來傳達問題的解決方案，而是必須在實踐中注重學生歸屬感的形成，促使學生將歸屬感轉化為思想，包括方程式的表現形式和各種圖形的變換等。在解釋這些要點時，教師應引導學生有意識地運用自己的想法解決問題，并循序漸進地加以闡釋，這不僅向學生傳授了數學知識，還進一步拓展了他們的數學思維，培養了學生的數學核心素養。

在實踐中，教師不僅要使學生注重對某一知識點的理解和利用，還要讓學生注重整合不同的知識點，不斷積累知識，從而為學生的數學學習奠定良好的基礎。此外，教師需要引導學生比較新舊知識，從而形成完整的數學知識體系，便于學生數學思想的產生，進一步增強學生對數學知識的應用。

（二）通過經典例題滲透轉化和化歸思想

轉化和化歸，可以通過變革性的思想解決一些無法解決的問題，教師需要充分引導學生體會轉化和化歸思想應用在數學解題過程中的優勢。

例如，在“函數與圖像”的教學中，教師引導學生對交點的作用進行深入的探究。其中一個問題是“當直線y=x+b與直線y=2x+4的交點在第二象限時，則b的取值范圍是什么？”。當學生第一次遇到這個問題時，他們會感到困惑：如何保證兩條直線的交點在第二象限？根據第二象限坐標的特點，學生能夠推斷出其交點坐標就是這兩個方程組成的方程組的解，也就是這個問題的最終結果。這時一切問題都迎刃而解，學生會產生頓悟的學習體驗。

（三）轉化與化歸思想在代數中的應用

通過轉化與化歸思想可以幫助學生理解和解決各種代數問題，并培養他們的代數思維能力。通過轉化與化歸思想，學生可以將一個復雜的方程轉化為等價但更簡單的形式，從而更容易求解。例如，對于二次方程ax2+bx+c=0，我們可以運用轉化與化歸思想，通過配方法將其轉化為一個完全平方的差，或者利用因式分解將該方程轉化為兩個一次方程的乘積，進而得到方程的解。

轉化與化歸思想還可以在多項式運算中幫助學生將多項式進行合并、分解和分配，從而簡化計算過程。例如，要計算多項式的和或差時，可以將各項按照相同的指數進行合并，化簡后再進行運算；而在乘法和除法中，可以利用轉化與化歸思想將多項式進行分解或合并，從而簡化計算。

在函數圖像的繪制和分析中，轉化與化歸思想可以幫助學生將函數轉化為特定形式，進而更好地理解函數性質和特點。例如，在繪制一次函數的圖像時，可以運用轉化思想，通過平移和縮放將其轉化為y=kx的標準形式，從而判斷出斜率和截距的關系。

在解決不等式的問題時，轉化與化歸思想可以幫助學生改變不等式的形式，使學生更便于求解。例如，對于復雜的分式不等式，可以通過轉化與化歸思想將其轉化為乘積形式或平方形式，從而簡化不等式的求解過程。

（四）轉化與化歸思想在統計推斷中的應用

在統計學中，轉化與化歸思想可以在統計推斷中起到關鍵的作用。一種常見的應用就是通過將問題轉化為對樣本均值的推斷來簡化總體均值的估計過程。假設有一個總體，并希望對該總體的均值進行推斷。傳統的方法要求獲得整個總體的數據，然后計算總體均值。然而在實際情況下，很難獲取到總體的數據。因此，可以通過抽取樣本來代表總體的特征。

轉化與化歸思想能夠將復雜的問題轉化為對樣本均值的推斷。具體而言，從總體中隨機抽取一個樣本，并計算該樣本的平均值。然后，依據中心極限定理，可以認為樣本均值的分布接近正態分布。基于樣本均值的正態分布性質，可以通過置信區間或假設檢驗方法對總體均值進行推斷。通過轉化與化歸思想，將復雜的問題轉化為對樣本均值的推斷，簡化了推斷過程。這樣，只需關注樣本數據而不必考慮整個總體的特征。同時，樣本均值的推斷方法已經得到廣泛研究和應用，具有可靠的統計性質和方法。

（五）強化教學設計，開展轉化與化歸主題教學

在中學數學教學中，教師必須不斷加強教學設計，創新教學方法，積極轉變教學觀念。教師在設計教學和研究教材時，必須注意教材中包含的思維方法；要注意合作探究或訓練方式的改變，將新舊數學知識建立聯系，使學生具有逆向思維。在數學課上創新的教學模式，可以讓學生理解和感受到數學思維的有效性，因此教師可以有意識地為學生創造出獨立發展和學習的空間，展示數學問題的相似之處，引導學生得出結論，最終產生相應的模型，來反映學生思維的轉變。

例如。教師可以借助多媒體設備，讓學生觀察與預測“余角與補角”中角的個數及其相互關系，以加深學生對“余角”與“補角”的認識，增強學生獨立學習與思考的能力。

五、初中數學轉化與化歸思想培養的原則

轉化與化歸是重要的數學思想，不是簡單的數學公式或具體的數學問題，而是知識體系的一部分，貫穿了學生的整個學習過程。因此，為了培養學生的轉化與化歸思想，教師在教學時，應遵循以下原則：

（一）直觀性原則

直觀性原則就是在數學教學的過程中，教師指導學生直接感知學習對象，并幫助學生在各種數學理論知識和實際的事物之間建立聯系。學生在解決具體的數學問題時，要形成自身的思維能力，能夠將抽象的數學問題轉化為可理解和可視化的問題。代數問題是抽象的，但如果學生能夠把他們轉換成直接可見的圖象，則會很方便地解決該問題。

（二）將隱性化為顯性

轉化與化歸的應用，需要學生掌握相關的數學知識點，但在課堂上，學生并沒有明確表示要通過轉化與化歸來解決他們存在的數學問題。因此教師應在具體的教材中，堅持數學問題中普遍存在的“隱性化為顯性”原則，將思維轉化為現實。

轉化與化歸思想在初中數學教學中的應用，能夠從不同的角度優化課堂教學體系，促使學生對數學知識進行深度的探索和實踐，從而提高學生的學習效率和綜合學習能力。基于此，在改革數學教學的過程中，教師應該組織學生系統地學習轉化與化歸思想的應用，總結應用轉化與化歸思想解決數學問題的規律，便于學生遇到類似的數學問題時，能夠快速地解決；從多個角度訓練學生，夯實學生的數學基礎，開闊學生的視野，促使學生將轉化與化歸思想應用到更加廣泛的實際生活中。教師通過轉化與化歸思想的應用，提高了教學的質量和效率，促進了學生的全面發展。

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