感知數學本質 生成直觀想象素養

劉孝成 汪世敏

摘? 要：直觀想象是《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》要求的核心素養之一，培養學生直觀想象素養是落實新時代“立德樹人”核心教育方針的有效措施。文章以“利用導數研究一元函數的零點問題”為例進行教學分析和教學設計，詳細闡述學生在直觀想象素養生成過程中遇到的瓶頸問題，引導學生感知數學本質，最終達到思維提質。

關鍵詞：高中數學；直觀想象；數學教學；數學本質

相交關系是初等數學研究中的一種重要的位置關系，其帶給研究者的思維沖擊構筑了一系列的知識點和能力點，函數的零點在人教高中數學A版必修一第三章已經給出了明確定義，其幾何本質是一種相交關系。本研究選取人教A版選修2-2第一章導數及其應用的習題進行教學分析和教學設計，立意在相交關系這種幾何本質的體現，探求直觀想象素養生成的著力點。

一、教學內容解析

（一）知識分析

本節課內容上應從學生熟悉的超越函數入手，變換視角分析，形成利用導數工具有效解決一元函數零點問題的方法。課程定位為思維品質和解題能力提升課，圍繞“導數工具性”不斷提出問題并引導學生發現問題、產生疑問，從不同角度尋求問題的解決，讓學生學會轉化，將問題轉化為自己熟悉的極值、最值等問題后再去解決，整個過程應注重學生的自主探究和思想方法的滲透，增強了研究意識，并對分類討論、數形結合以及轉化思想有了進一步的體會。

（二）數學思想和方法分析

函數的零點問題是數、形、式三位一體的集中體現，是函數的零點、方程的解、圖象的交點之間的轉化過程，其中蘊含著數形結合和轉化的數學思想。

（三）知識體系分析

學生具備知識網絡，如圖1。

（四）價值分析

通過利用導數研究一元函數零點，實現學生從感性認識到理性研究的思維轉化，數學課堂不能只有抽象層面的代數推理，直觀想象在學科研究中是形成論證思路和數學推理的思維基礎，這正是本設計的學科價值之所在。本設計的教育價值在于運用觀察到的數學現象，主動思考現象，尋求解決新情境中的數學問題，感悟情境問題中數學學科本質。

（五）教學重點和難點

重點：感悟函數零點問題蘊含的數學思想，厘清函數零點問題的內在聯系和知識邏輯，準確使用導數工具。

難點：構建合適的思路解決零點問題，認清零點、方程的解、相交關系互相轉化的數學本質。

（六）目標分析

1. 多角度探究零點問題轉化出的相交關系，感知利用導數研究一元函數零點的問題實質，形成知識的高通路遷移。

2. 對比各種轉化出的相交關系，厘清零點問題等價轉化的方式，體會數學思想（數形結合、特殊與一般、分類討論、化歸與轉化）帶來的樂趣，提升關鍵思維品質。

3. 感受直觀圖形帶來的美學特征，在圖形的變化中培養學生捕捉信息的能力，通過嚴謹的思維和準確的表述，提升學科綜合素養。

二、教學環節設計

（一）回顧知識，筑牢零點問題基礎

問題一：什么是零點？

【設計意圖】 學生對知識要達到有深度的遷移和轉化，必須站在更高的角度對現有概念和定義有一定的理解，不能停留在表面。函數的零點本質是思維的轉化，是相交關系的代數展現，引導學生回顧知識有利于認清研究問題的本質：（1）不管哪類零點最終落腳到兩圖像的相交；（2）零點問題的本質是數學知識的相互轉化。在教學中應大膽讓學生總結這種相交關系的常見形式（孤立零點、端點零點、極值零點、尖點零點和變號零點），感悟零點問題處理策略：（1）轉化的數學思想；（2）數形結合思想。

【教學預設】 在必修一第三章對函數的零點給出了明確的定義：對函數y=f（x）（x∈D），使f（x）=0的實數x叫作函數y=f（x）（x∈D）的零點。零點理解：方程f（x）=0的實數根x=x0?函數y=f（x）的圖象與x軸交點橫坐標。（相當于兩曲線相交交點的橫坐標）所以零點不是點是方程的根或者是函數圖象與x軸交點的橫坐標，本質上零點是一個實數。

（二）探究問題，發現問題本質

問題二：求方程f（x）=lnx-x+1的零點個數？

【設計意圖】 學生轉化為方程lnx-x+1的解，易通過觀察得出方程的解是x=1，x=1是函數f（x）=lnx-x+1的一個零點，但對是否只有一個零點，部分學生是無法直接回答的，大多數學生知道還需研究函數的性質，問題的設計具有可開發性，起到拋磚引玉的目的。

【教學預設】 本題還需探求函數f（x）=lnx-x+1的單調性。

f′（x）=當x∈（0，1），f（x）>0，f（x）在（0，1）單調遞增，當x∈（1，+∞），f′（x）<0，f（x）在（1，+∞）單調遞減。其發展趨勢如圖2：而f（1）=0，所以此時只有一個零點x=1，x=1是函數y=f（x）的極大值點，f（x）在x=1處取得極大值。

（三）逆向設問，升華思維品質

研究了函數f（x）=lnx-x+1的零點個數后，下面做逆向思維引入參數a。

問題三：若函數f（x）=lnx-ax+1（a∈R）有兩個零點，則a的取值范圍是什么。（學生自己嘗試解題）

【設計意圖】 逆向構造新問題情境是教學設問的常用方式，可以有效拓展學生思考問題和研究解決的方式，面對新問題情境的處理思路和方法是教學指揮棒高考的要求和導向，在總時間有限的情況下，不同學生選擇的方式不一樣其解決問題所耗費的時間和取得的效果也是不一樣的。本問題的設置具有一定的開放性，也是本課的教學主體，應充分考慮學生認知特點，時間上可以適當延長，目的是留夠足夠的思考時間，力求讓學生感受到零點問題的本質。（以下預設解答角度）

角度二：將函數f（x）=lnx-ax+1（a∈R）有兩個零點轉化為lnx=ax-1方程有兩個實根，進一步轉化為函數y=lnx和過定點的直線系y=ax-1有兩個交點，作出圖像如圖5。

三、教學思考

（一）情境設置的合理性

熟悉情境、關聯情境和綜合情境是數學問題的常見呈現方式，學生對數學問題的研究一般遵循從熟悉情境入手，探入關聯情境思考，深入綜合情境。不同學齡段、不同認知深度的學生對情境的理解層次是有差異的，在設計直觀想象情境時，應充分考慮這種差異，面對不同教學對象、不同學歷階段時應采用多樣化的情境設計，做到適合學情。

（二）問題設置的開放性

傳統教學中的問題設置，答案往往是單一的，存在問什么就答什么的教學現象，提問也比較單一；教師就題講題，沒有深入去挖掘問題的來源、本質、去向等相關知識，在這種模式下學生的思維被禁錮。數學知識的生成過程是教師應關注的問題，直觀想象為這個過程搭建了一個良好的平臺，教學設置問題的開放性體現在：（1）引入問題的多樣性。可以采用順勢引入、逆向引入、生活情境引入等多樣引入方式。（2）答案的豐富性。問題的提出應充分考慮不同學生對問題的不同切入點，其獲得答案或結果所耗的時間和精力也不相同，這樣才能使不同學生得到不同的發展。

（三）素養生成的關聯性

直觀想象是“看”出來的，由于問題的綜合性和復雜性，“看”已不再是單一的直接觀察而是多個素養作用下的合力表象，簡單來說就是考查直觀想象素養的題目中不光有直觀想象素養。以本研究中設計題目來說，研究函數f（x）=lnx-x+1的單調性需要數學運算素養，將函數零點轉化為相交關系需要邏輯推理素養，計算出參數的值需要數學分析素養。在大概念的教學理念下，關注素養生成的關聯性，不只局限于學科本身，跨學科的知識遷移對綜合素養的提升也有較大的促進作用。

（四）拓展練習的針對性

基于圖形直觀解決數學問題是直觀想象素養的核心，而圖形關系琳瑯滿目，因此在對應圖形關系的研究后，拓展練習應遵循學生的認知特點和開放性思維方式進行有針對性的練習設計。這種針對性體現在兩方面，一是興于形、立于思、成于新是直觀想象課后習題設計的原則；二是適度遷移，學生知識體系的完整性是無法和教師進行對比的，因此設計的練習應遵循學生認知發展的原則，不能過度遷移。

高中生正處在素養和能力發展的黃金期，大部分學生能夠理清自己解決問題的思路，對抽象性的幾何問題，繪圖、利用圖象分析、借助圖象解決問題、動態捕捉關鍵信息都有一定基本功，如果能夠在問題轉化、抽象概括方面提升自己，教師適當引導，學生自我總結，發現問題實質，形成高通路的知識遷移，這樣直觀想象素養就能得到長久的發展。

參考文獻：

［1］人民教育出版社. 普通高中課程標準實驗教科書（選修2-2）［M］. 北京：人民教育出版社，2007.

［2］吳天添. 高中數學開放性課堂教學的幾點思考［J］. 數學教學通訊，2017（15）：56-57.

［3］王娟. 高中數學教學中如何創設數學問題情境［J］. 中國校外教育，2017（05）：61.

（責任編輯：鄒宇銘）