利用數形結合思想 巧思妙解幾何問題

摘 要：數形結合思想是借助可視化的幾何圖形，將數學概念與幾何圖形相結合，幫助學生更好地理解和應用數學知識的一種思想方法，在初中數學解題中有著廣泛的應用.幾何問題不僅可以培養學生的空間想象力和幾何推理能力，而且可以培養學生的幾何直觀.因此，在初中數學教學中，教師可將數學概念與平行四邊形、全等三角形、阿氏圓等幾何圖形相結合，讓學生能夠更直觀地理解和應用數學知識.

關鍵詞：數形結合思想；初中數學；課堂教學；幾何問題

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）26-0029-03

作者簡介：羅志山（1966.03-） 男，江蘇省南通人，本科，一級教師，從事初中數學教學研究.

初中數學課堂是學生掌握數學基礎知識、訓練基本技能、形成基本數學思想、積累數學活動經驗的主陣地，也是培養學生高階數學思維的主陣地[1].數形結合思想是一種重要的數學思想方法，是將抽象的數量關系與直觀的圖形結構結合起來進行思考的一種思想.在初中數學教學過程中，教師需培養學生數形結合意識，提高數形結合能力，從而提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力.

1 利用數形結合思想妙解平行四邊形問題

平行四邊形是初中數學中一個重要的平面圖形，它的性質在解題中有著廣泛的應用.在與平行四邊形有關的數學問題中，其主要涉及平行四邊形的定義、性質和判定等知識，利用這些知識解決問題時，數形結合思想可以發揮重要作用.在初中數學教學中，教師可以借助數形結合思想，幫助學生理解平行四邊形的概念、性質和判定，還可以幫助學生找到數學學習的靈活性和機動性.

在“平行四邊形”教學中，教師可以給學生展示一些平行四邊形的實際例子，比如鐵路軌道、籃球場地等，通過觀察這些實際對象的特點，學生可以直觀地感受到平行四邊形的形狀和性質.然后，教師可引導學生觀察并描述這些平行四邊形的特點，如對邊是否平行、對角是否相等等，從而幫助學生建立對平行四邊形的初步認識.接著，教師可以為學生展示課堂例題，培養學生的應用能力.

例1 如圖1，在平行四邊形ABCD中，設點E，F分別為邊BC，AB上的一點，CF與AE相交于一點P，CF＝AE.求證：∠APD＝∠CPD.

為使學生熟練運用平行四邊形的性質解決本題，教師可幫助學生回顧平行四邊形的性質.指導學生繪制平行四邊形的幾何圖形，引導學生觀察圖形中的邊、角、對角線，并與平行四邊形的定義結合起來，探索平行四邊形的性質.教師可要求學生測量平行四邊形各邊的長度和各角的大小，通過比較，學生發現平行四邊形的對邊相等、平行四邊形的對角相等.同時，教師還可以引導學生觀察平行四邊形的對角線的特征，學生容易發現“平行四邊形的對角線互相平分”.針對本題，在教師的指引下，學生積極思考，踴躍發言，得到了問題的證明方法.

證明 如圖2，過點D作DG⊥AE，DH⊥CF，垂足分別為G，H.連接DF，DE.

除此之外，教師還可以設計一些與實際生活相關的問題，要求學生利用平行四邊形的性質進行推理和解答.例如，教師可以給學生一個房間的平面圖，要求學生找出平行四邊形.通過這樣的問題設計，能夠將數學知識與實際情境相結合，培養學生的邏輯推理能力和問題分析能力.

借助數形結合的數學思想方法，可為學生解決問題提供良好的數學解題思路，提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力.在初中數學教學中，教師可借助數形結合的思想方法，激發學生學習數學的興趣，提高學生的幾何直觀和幾何推理能力.

2 利用數形結合思想妙解全等三角形問題

數形結合思想的應用非常廣泛，不僅可以解決與平行四邊形有關的幾何問題，還可以解決與全等三角形有關的幾何問題.教師可引導學生將數學概念與幾何圖形相結合，幫助學生更好地理解數學概念和幾何圖形的結構特征，從而提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力.

在“全等三角形”教學中，教師可展示一些全等三角形，引導學生觀察圖形的特征，從而得到全等三角形的性質.首先，教師給學生展示兩個全等三角形，并提醒學生注意圖形中的對應邊、對應角的大小關系.然后，教師讓學生通過觀察和比較，找出兩個全等三角形中具有相等關系的邊或角，從而發現全等三角形的對應邊相等、全等三角形的對應角相等.接下來，教師可以設計一些有趣的幾何問題，讓學生利用數形結合思想解決.

例2 如圖3，在△ABC中，點D在線段AC上，線段BD平分∠ABC，延長BA到點E處，使得BE＝BC，連接DE，若∠ADE＝38°，求∠ADB的度數.

教師引導學生結合圖形特征，對已知條件和所求角度之間的邏輯關系進行思考，利用數形結合思想求解.學生指出，從角平分線入手，根據全等三角形的性質可得出對應角相等，然后再借助假設法和等量代換得出最后的結果.教師對學生的求解思路給予充分肯定，并請學生寫出求解過程.

解 因為BD平分∠ABC，所以∠DBE＝∠DBC.

在△BDE和△BDC中，

因為BC＝BE，∠EBD＝∠CBD，BD＝BD，

所以△BDE≌△BDC，所以∠BDE＝∠BDC.

設∠BDA＝α，則∠CDB＝∠EDB＝α+38°，又因為∠CDA為平角，所以α+α+38°＝180°，解得α＝71°，即∠ADB＝71°.

除此之外，教師還可以引導學生將數學概念與實際生活中的問題相結合，讓學生意識到全等三角形在生活中的廣泛應用.例如，教師可以給學生講解全等三角形在建筑設計、地圖繪制等領域的應用等.

借助數形結合思想方法，學生對幾何知識有了更深入的理解，提高了學生觀察和比較的能力.全等三角形的判定與性質是解決與全等三角形有關幾何問題的工具，數形結合思想為學生提供了一種有效解決幾何問題的方法，使學生靈活運用所學知識解決幾何推理問題.因此，掌握全等三角形的概念可以幫助學生更好地理解和應用全等三角形的判定與性質解決實際問題，為學生未來的學習和發展打下堅實的基礎[2].

3 利用數形結合思想妙用最值阿氏圓

阿波羅尼斯圓是一種特殊的圓，簡稱為阿氏圓，其特點是它的半徑與焦點之間的距離成反比例關系，學生學習阿波羅尼斯圓的意義在于它代表了幾何學中的一個重要概念，不僅具有理論上的價值，還有實際應用的意義.通過學習阿波羅尼斯圓，教師可以引導學生深入理解數學中的比例關系和圖形的性質，幫助學生更好地理解和解決最值問題.

在“圓”的教學中，教師可以指出阿波羅尼斯圓的研究對于幾何學發展的重要意義，擴展學生對圓形的認識，使學生能夠更加全面地理解和應用圓的性質.通過研究阿波羅尼斯圓，教師可以引領學生進一步探索圓的曲率、切線和法線等方面的特性.在教學實踐中，教師可以給學生呈現一個最值問題，求解一個三角形內切圓半徑的最大值問題，然后引入阿氏圓的概念，并通過對幾何圖形的觀察，讓學生發現阿氏圓的半徑與三角形的邊長之間存在著某種關系.接著，教師可以引導學生運用數學知識，如勾股定理和三角形面積公式，結合阿氏圓的性質，推導出最值問題的解決方法.通過這樣的教學方式，學生不僅能夠理解數學規律，還能夠培養學生的邏輯推理能力和分析問題的能力.

例3 如圖4，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，且CB=4，CA=5，圓C的半徑為2，點P為圓上的一個動點，連接PA和PB，求PA+12PB的最小值.圖4 例3題圖

結合圖形特征和已知條件，教師可以鼓勵學生自主解答，培養學生的數學思維能力，提升學生的數學核心素養.其中一名學生提供了如下解題思路：

為此，教師給予學生充分肯定，并鼓勵其他學生繼續思考，突破問題難點，最終求出結果，有學生求得AD=37，教師肯定了學生的回答.

借助數形結合思想解決與阿氏圓有關的最值問題，為學生提供了鍛煉幾何推理思維的機會，幫助學生深刻理解數學最值問題的幾何意義，從而為學生的數學學習提供更加豐富和深入的活動體驗[3].

總之，數形結合思想是一種非常重要的數學思想方法，在初中數學解題中有著廣泛的應用.幾何問題不僅可以培養學生的空間想象力和幾何推理能力，而且可以培養學生的幾何直觀.因此，在初中數學教學中，教師也可以將數學概念與幾何圖形相結合，讓學生能夠更直觀地理解和應用數學知識.數形結合思想是一種有效解決幾何問題的思想方法，可以提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力，提升學生的數學核心素養，促進學生全面發展.

參考文獻：

［1］趙春玉.初中數學教學中數形結合思想的應用探析[J].試題與研究，2023（20）：46-48.

[2] 何朝富.數形結合思想在初中數學教學中的應用[J].考試周刊，2023（23）：107-110.

[3] 楊敏.淺談如何激活初中生的數形結合意識[J].數學教學通訊，2023（14）：74-75.

［責任編輯：李 璟］