鍛煉數學思維，掌握數學方法

汪靜思

【摘 ?要】 數學思想方法是數學學科的精髓所在，所體現的是數學的本質，對于學生的數學學習有著重要的作用.正確地看待數學思想方法，并將數學思想方法滲透于數學課堂的教學中，有助于學生深度地理解數學知識，掌握數學知識的本質，促進學生深度學習的發生，促進學生數學核心素養的形成.本文以高中數學教學為例，就數學思想方法在高中數學教學中的滲透意義以及有效滲透方法進行分析，旨在強化高中生的數學思維能力，掌握有效的數學方法，提升數學學習的整體效果.

【關鍵詞】高中數學；數學思想方法；課堂教學

在2022年版普通高中數學課程標準中明確地指出，數學課程教學要關注學生的數學思維能力培養，引領學生掌握有效的數學方法，促進學生在數學學習中的長遠發展.數學思想方法是數學基本思想以及數學基本方法的統稱，在數學領域中數學思想主要影響的是學習者的數學思維活動，而數學方法則是數學思想的具體化形式，在以數學思想方法培養為目標的背景下，要求學生對于數學的理解不只是停留在形式、層面上的淺層認識，更為強調的是學生對數學本質的掌握，提倡學生在數學學習中經歷自主探索、邏輯推理、概念總結、結論總結等學習過程，在數學學習中積累并學會使用數學思想方法，能夠輕松地解決數學問題^[1].

但是，我們發現在實際的課堂教學中，許多教師花費了較大的精力，但是收獲到的教學效果并不明顯，究其原因在于教師在教學中缺乏對學生數學思想方法思考的引導，學生無法在數學學習中建立完整的知識網絡圖，容易因為知識理解錯誤或者是沒有掌握有效的數學方法造成做題失誤.

對此，需要教師探索數學思想方法在高中數學教學中滲透的有效方法和途徑，引領學生掌握高中階段學生必須掌握的函數與方程思想、轉化與化歸思想、分數討論思想、數學結合思想等，學會使用數學歸納法、待定系數法、類比法、輔助元法等解決問題，這不僅是眾多教師關注的話題，也是本文研究的重點所在.

1 ?高中數學思想方法滲透的意義

1.1 ?促進數學教學改革

在對數學學科歷史發展進程的研究中，發現數學史上的每一次突破性成就都與數學思想方法的提出與創新有關，可見數學發展的內在動力就是數學思想方法的不斷衍生與開拓.但是，在近些年高中數學課堂教學中普遍存在重結果、重題型訓練等問題，大部分教師照本宣科地講述書本中的內容，學生招盤接受，此時學生只是掌握了數學基本事實，而忽視了書序的內容背后反映出的數學思想放方法，在這種情況下，需要教師創新教學方法.數學思想方法的滲透，要求一線教師更新教學思想，轉變教學觀念，主動地創新與優化教學方式，實現高中數學教學從重結果、重梯形訓練轉變為重過程、重思想方法培養，讓高中數學課堂的變革緊跟教育新時代發展的潮流.

1.2 ?促進學生思維發展

數學常被譽為思維訓練的體操，反映出的是數學思維訓練對于學生數學學習過程中的各方面發展的重要影響，如對數學能力提升的影響，對數學思維品質形成的影響等.數學思想方法的滲透，可以誘發高中生在數學學習中實現思維的碰撞，形成創造性的想法，在數學思想方法的探索中領悟數學核心精神，并傳承數學精神，塑造出優質的數學思維品質，優化高中生的數學思維結構^[2].

1.3 ?提升數學解題水平

解題是高中生數學學習中的主要內容，也是學生必須具備的數學技能，從數學解題的視角分析，學生解決一道數學題的過程是以一般性質問題為導向的尋求解決方法、得出結論的過程.數學知識的學習與積累是一個循序漸進的過程，需要學生不斷地積累與完善，但是數學思想、數學方法是不變的，數學思想方法反映了數學的統一性，因此，需要教師在日常的教學中滲透數學思想方法，讓學生掌握解題方法，無論題目的條件如何變化、題型如何轉變，學生都可以輕松地解答問題，找出解決問題的關鍵點，靈活地運用數學方法解答問題.

2 ?高中數學思想方法滲透的有效方法

2.1 ?深入分析教材，掌握數學思想方法內容

章建躍在新教材培訓會上表示，新教材能夠助力學生的核心素養形成，在“明線”數學知識以及“暗線”數學思想方法上進行了有機地融合，能夠引領學生在數學學習中獲得螺旋上升的發展，樹立理性精神，感受數學思想方法之美.在高中數學教材中主要包含了“觀察”“思考”“探索”“歸納”等欄目，并在其中穿插了一些開放性的問題，引導學生使用歸納、類比、一般化、特殊化等方法，揭示出所學內容中反映出的數學思想與方法，因此，教師應深入地挖掘數學教材，找到數學思想方法的融合點，為數學思想方法的滲透奠定基礎^[3].

例如 在“集合間的基本關系”這節課教學中，教材中首先提出了這樣的問題：“我們知道，兩個實數之間有相等關系、大小關系，如，，等等，兩個集合之間是否也有類似的關系呢？”在“觀察”欄目中出示了幾個案例：（1）A=?{1，2，3}，B=?{1，2，3，4，5}；（2）C為立德中學高一（2）班全體學生組成的集合，D為這個班全體學生組成的集合；（3）E={x|x是兩條邊相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形}，要求學生通過案例的觀察，思考集合之間存在的相等或大小關系.通過對教材內容的分析，發現教材首先利用具體的問題啟發學生，引領學生從兩個實數之間的關系分析類比推理到兩個集合之間的關系分析，有助于學生樹立類比推理思想，在“觀察”欄目中以三個例子為載體，讓學生在經歷觀察、分析、抽象與概括的過程中，總結出集合之間存在的相等關系、包含關系，促使教師全面地掌握教材中蘊含的數學思想方法.

2.2 ?重視教學過程，加強數學思想的訓練

在以往的數學課堂教學中，大部分教師只是將現有的數學知識講解出來，并要求學生記住，卻極少給學生提供自主探索的機會，導致學生無法從數學問題的探索中，感受到數學思想，這是影響學生數學學習質量提升的關鍵原因之一.為了解決這一問題，需要教師重視教學過程的優化，將教學的關注點放在學生的學習活動參與中，能夠引領學生在數學問題的探索中，獲得數學思想的訓練，深化對數學思想的體驗與感悟^[4].

例如 以“函數與方程思想的滲透”為例，為了幫助學生了解函數與方程思想，教師可以在課堂教學中給學生出示這樣一道習題：“為穩定A市的房產價值，當地政府決定建造一批保障房供應社會.政府選擇了一塊土地作為建筑用地，需要花費1600萬元購買，在此地可以完成10棟樓房的建筑，每棟樓的層數相同，且建筑面積均為1000米²/層，樓層數與建筑費用之間存在極大的關系，假設樓層數為x，那么建筑費用則為（）元，經過相關人員的測量，發現若將每棟樓建成層數為5層，那么這個小區的綜合費用為1270元/米²，請學生計算：（1）求k的值是多少？（2）想要保障該小區每平米的平均綜合費最低，應該將樓層蓋到多少層最合適？最低的平均綜合費用又是多少呢？”在這道題的解答中需要學生根據題意分析條件與結論，能夠從題干中給出的眾多條件中理順各個數量之間的關系，并從中抽象出函數模型，可以幫助學生建立函數與方程思想，找到解題的關鍵.一名學生這樣寫道：

假設這個小區的每棟樓為n（n∈N*）層時，每平方米平均綜合費用為f（n），由題意可以得到函數關系式：

.

列出函數關系式之后，學生開始解決第一個問題，結合題目條件中的數字關系“5”層、“1270”元之間的關系，抽象出函數表達式，即為=1270，那么：

.

計算得出：，在利用函數思想將優化問題轉化為函數求最值問題，可以降低問題的難度，幫助學生進一步掌握函數與方程思想，提高學生的問題解答能力.

2.3 ?及時整理總結，概括與提煉數學方法

在高中數學思想方法的教學中，教師應注重引領學生在數學探索中提煉出數學方法，采取循序漸進的引導方式，立足于學生的認知規律，幫助在數學學習的過程中及時地概括數學方法，潛移默化地領悟數學方法的運用價值，并且能夠在問題的解答中靈活地運用數學方法，發揮出數學方法的實用價值，提高學生的數學學習能力以及數學方法運用能力.因此，在每一課堂的結尾，教師都給學生預留幾分鐘的數學方法討論與總結的時間，有意識地引領學生概括與總結數學方法，帶領學生從“學會”走向“會學”，在數學學習中能夠主動且創造性地探索新知，認識到數學的本質^[5].

例如 以數學歸納法為例，數學歸納法是一種用于判斷命題對于某些自然數是否成立的演繹推理方法，詳細的數學歸納法是：要驗證命題P（n）成立的，要看命題是否滿足以下兩個條件：（1）當n取第一個數時，有成立，即為當時，P成立；（2）若自然數k大于等于時成立，即為成立；（3）證明也成立.為了幫助高中生在學習中掌握數學歸納法，教師可以借助“多米諾骨牌”游戲活動組織的方式，幫助學生理解數學歸納的證明過程，再通過問題分析的方式，讓學生經歷數學歸納法的分析、推理與驗證過程，能夠從問題推理與演算中進一步地總結與歸納出數學方法.如，教師出示例題“證明

等式對所有自然數n成立”，教師帶領學生結合數學歸納法的證明條件，帶領學生共同完成例題的證明過程：

（1）當時，；

（2）假設對任意自然數成立，即：；

（3）那么時，.

在經過三個條件的驗證推理之后，學生們得出結論，即為當時，等式也成立，因此，對所有自然數都成立.通過這個典型例題的分析，引領學生在習題訓練中及時地總結與提煉出數學歸納法，能夠利用數學歸納法解答問題，證明等式是否成立，提升學生的數學學習效果.

3 ?結語

總之，數學思想方法在高中數學教學中的滲透，是新課改的重要內容，也是學生掌握數學關鍵能力的主要途徑，需要教師積極地探索數學思想方法滲透的有效途徑，引領學生在數學學習中掌握核心的數學思想，積累并掌握數學方法，能夠在數學學習中對問題做出正確的判斷，掌握問題解決的有效方法，幫助高中生攻克數學學習的難關.

參考文獻：

[1]馬艷波.新課程背景下高中數學變式題設計方法探析——以“數形結合思想在函數問題中的應用”一課教學為例[J].延邊教育學院學報，2022，36（03）：143-145.

[2]王玉玲.高中數學常用數學方法及應用研究——評《高中數學思想方法的巧學活用術》[J].教育理論與實踐，2022，42（27）：65.

[3]陳林.數學思想方法在高中數學解題中的應用[J].數學之友，2022，36（24）：61-63.

[4]萬飛.借助數學思想方法，解決幾何問題[J].初中生世界，2023（Z1）：76-77.

[5]華錦梅.巧用數學思想方法 實現高效率數學課堂[J].試題與研究，2023（03）：22-24.