淺談數學思想方法在冪的運算中的滲透

沈磊

【摘要】在數學學習中，學習基礎知識的重要性是毋庸置疑的，而數學思想方法的學習也十分重要.掌握數學思想方法不但可以解決一類問題，而且可以培養數學思維.在冪的運算一節，滲透著許多重要的思想方法.

【關鍵詞】冪的運算；數學思想；初中數學

初中數學中冪的運算是整式一章中的基本運算，涉及的運算比較豐富，例如加減乘除和乘方運算，再加上括號，一些學生學習時有些眼花繚亂，做題時無從下手，或者毫無根據的隨意計算，數學思想方法的學習有利于對這一節內容從整體上進行把握.在筆者閱讀的一些文獻中，略有數學思想方法在冪的運算中的滲透[1-2]，經過筆者的總結，這一節涉及的數學思想方法主要有整體思想、轉化思想、逆向思維方法等.

1 整體思想

例1 已知5m=2，5n=3，求53m+2n+1.

分析 由已知條件，在初中階段無法求出m和n的值，分析所求與已知的關系，根據53m=（5m）3，發現53m+2n+1=53m×52n×5=（5m）3×（5n）2×5，從而整體代入求解.

解 因為53m+2n+1=（5m）3×（5n）2×5，

所以53m+2n+1=（5m）3×（5n）2×5

=23×32×5=360.

例2 xm=3，ym=2，求（x2y）m+x2m+y3m的值.

分析 本題中x、y、m的值都無法求出，所以考慮整體代入求值.

解 因為（x2y）m+x2m+y3m=（xm）2·ym+（xm）2+（ym）3，

所以（x2y）m+x2m+y3m

=（xm）2·ym+（xm）2+（ym）3

=32×2+32+23

=18+9+8=35.

點評 整體思想是一種重要的數學思想，無論是數還是式的運算，整體思想都不能忽視，運用整體思想可以避開某些未知數的求值問題，將條件中的式子作為整體代入到代數式中求值，這一思想在整式一章的其他小節也有體現.

2 轉化思想

例3 已知a=255，b=344，c=433，試比較a、b、c的大小.

分析 本題如果想要通過求出具體值比較大小，顯然數字過于龐大，無法解決，觀察數字55，44，33都是11的倍數，把11作為指數，轉化為同指數冪，比較底的大小即可.

解 因為a=255=25×11=（25）11=3211，

b=344=34×11=（34）11=8111，

c=433=43×11=（43）11=6411，

又因為32<64<81，

所以a

例4 已知a=8131，b=2741，c=961，試比較a、b、c的大小.

分析 由于冪比較大，直接計算很不現實，觀察發現81，27，9都可以轉化為3為底數的冪，這樣只需要比較指數的大小即可.

解 因為a=8131=（34）31=3124，

b=2741=（33）41=3123，

c=961=（32）61=3122，

又因為122<123<124，

所以c

點評 比較某些冪的大小時，對某些問題計算出具體數值再比較是不切實際的，轉化為同底數冪或者同指數冪可以有效地降低運算復雜程度[3]，快速地比較出大小，這種轉化思想的運用使得復雜的問題簡單化，轉化與化歸思想是解決數學問題的基本思想.

3 逆向思維

分析 在學習冪的運算法則之前，根據冪的含義把算式分解為一系列數乘積的形式，通過約分也可以計算出結果，計算較復雜，需要經過多次約分計算，但學習了冪的運算法則（ab）n=anbn，逆向使用可以降低計算復雜程度.

=25×（－5）6

=25×（－5）5×（－5）

=［2×（－5）］5×（－5）

=（－10）5×（－5）

=－100000×（－5）=500000.

例6 求32005×72006×52006的個位數字.

分析 把這個算式的計算結果求出是不切實際的，我們需要注意某些數字相乘的尾數特征，例如任意多個尾數是1的整數相乘結果尾數仍然是1，任意多個尾數是5的整數相乘結果尾數仍然是5等.

解 ?32005×72006×52006

=32005×72005×52005×7×5

=（3×7×5）2005×35

=1052005×35，

因為2005個105相乘的尾數是5，再乘以35之后的尾數仍然是5，所以原算式計算結果的個位數字是5.

點評 以上兩個例子都涉及冪的運算法則（ab）n=anbn的逆向使用，對于運算法則，學生們往往記住正向使用，而運算法則是雙向的，法則的逆向使用有利于逆向思維方式的培養和思維方式的轉變，數學是培養人的思維的學科，在數學學習中培養和鍛煉思維是學習數學的根本要求.

4 結語

以上僅僅是數學思想方法在冪的運算中體現的幾個例子，對于初中數學，無論是教師的教還是學生的學，現階段還是側重于知識點和解題的方法，對其中所蘊含的數學思想方法重視程度往往不夠，這對學生今后的學習是不利的，僅僅掌握知識點和解題方法雖然在學生的應試水平上有幫助，但達到某個水平之后很難再提升，這主要還是缺乏數學思想方法的掌握.日常教學中，教師在講授或探求方法的同時，應注意數學思想方法的滲透，提升學生的思維品質，對學生后續的學習會有很大的幫助.數學的學習不僅要掌握方法，也要領悟其中蘊含的數學思想.

參考文獻：

[1]張麗.冪的運算中的思想方法[J].中學生數理化（八年級數學）（配合人教社教材），2021（11）：6-7.

[2]曹陽.轉化思想與冪的運算[J].初中生世界，2019（09）：46.

[3]胡娟.冪運算法則的靈活應用[J].初中生輔導，2019（Z1）：94-96.