有色噪聲干擾下Hammerstein非線性模型辨識

宋 偉, 韓佳虎, 李 峰*, 曹晴峰

(1.江蘇理工學院 電氣信息工程學院, 江蘇 常州 213001; 2.揚州大學 電氣與能源動力工程學院, 江蘇 揚州 225127)

0 引言

Hammerstein非線性模型同時結合了動態線性特征和無記憶非線性特征,可以描述一大類實際非線性過程,被廣泛應用于實際工業過程的辨識建模與控制.圍繞Hammerstein模型的參數辨識問題,領域內的專家研究出了一些重要的方法,主要分為同步辨識和分步辨識兩大類.同步辨識包括過參數化法[1,2],子空間法[3,4],直接辨識法[5,6]等,這類辨識方法通過構造系統的混合參數模型,直接辨識原模型混合參數,然后進行各子系統參數分離.分步辨識包括迭代法[7,8],頻域法[9],多信號源法[10-13]等,這類辨識方法通過重構中間變量,實現模型子系統之間的參數分離辨識.

在Hammerstein非線性模型的參數辨識中,最小二乘方法因其概念簡單、易于實現而成為非線性模型辨識的主流算法[14].考慮SISO(Single Input Single Output)Hammerstein模型的辨識問題,文獻[15]在遞推最小二乘算法中引入變遺忘因子,解決了由于參數映射帶來的收斂速度下降問題.基于關鍵項分離技術,Ding等[16]將Hammerstein受控自回歸系統分解為若干個變量較少的子系統,利用遞階最小二乘算法辨識子系統參數.文獻[17]針對Hammerstein非線性輸出誤差系統,利用輔助模型的輸出代替未知變量,提出了一種基于輔助模型的最小二乘辨識算法.考慮一類輸入非線性誤差系統,文獻[18]將關鍵項分離技術結合輔助模型方法,研究了基于關鍵項分離的輔助模型最小二乘辨識方法.上述方法中研究了Hammerstein模型的外部噪聲為白噪聲的參數辨識問題,得到一致的參數估計.

系統的外部噪聲有兩種形式,即白噪聲和有色噪聲.與白噪聲相比,有色噪聲具有一般性和代表性[19].當外部噪聲為有色噪聲時,上述各類最小二乘辨識方法無法得到系統參數的一致估計[14],其原因是遞推辨識算法沒有對噪聲模型的參數進行估計,因此對有色噪聲干擾下Hammerstein模型辨識的關鍵在于能夠有效估計有色噪聲模型.根據有色噪聲的產生機理,有色噪聲可由白噪聲生成[20],可以利用自回歸模型[21],滑動平均模型[22,23],或者自回歸滑動平均模型[24]進行擬合.針對帶有色噪聲的狀態空間模型的辨識問題,文獻[25]基于遞階辨識原理,推導了狀態觀測器的遞階隨機梯度算法,對參數向量和狀態進行聯合估計.考慮一類Hammerstein FIR-MA-like系統,文獻[26]基于數據濾波技術,探究了一種基于數據濾波隨機梯度辨識方法.針對Hammerstein非線性受控自回歸滑動平均系統,文獻[24]研究了一種基于牛頓迭代的最大似然估計方法.上述文獻研究了不同類型有色噪聲干擾的Hammerstein模型辨識方法,并取得相應的辨識結果.值得強調的是上述辨識方法在辨識過程中出現Hammerstein模型參數乘積項,在設置非線性子系統或者線性子系統的首項參數為1的條件下分離出線性和非線性子系統的參數值.因此這類方法降低了模型辨識精度,且具有一定的局限性.

針對上述問題,本文考慮一類滑動平均噪聲的干擾,研究了有色噪聲干擾下Hammerstein模型參數分離辨識.研究中設計了由二進制信號和隨機信號構成的組合信號,并利用二進制信號不激發靜態非線性子系統的特性實現Hammerstein模型各串聯子系統分離辨識,解決了Hammerstein模型中間變量信息不可測量問題.首先,基于二進制信號的輸入/輸出數據,采用AV-RELS(Auxiliary Variables Recursive Extended Least Squares)方法辨識線性子系統和滑動平均噪聲模型的參數,實現參數一致估計.其次,基于隨機輸入信號及其輸出,通過本文提出的FF-ESG(Forgetting Factor based Extended Stochastic Gradient)方法,可以有效的改善非線性子系統的辨識效果.

1 滑動平均噪聲干擾下Hammerstein非線性模型

考慮如圖1所示的一類滑動平均噪聲干擾下Hammerstein非線性模型.

圖1 滑動平均噪聲干擾下Hammerstein非線性模型結構圖

根據圖1所示,滑動平均噪聲干擾下Hammerstein模型的數學描述如下所示:

v(k)=f(u(k))

(1)

x(k+1)=Ax(k)+bv(k)

(2)

g(k)=cx(k)

(3)

w(k)=D(z)e(k)

(4)

y(k)=g(k)+w(k)

(5)

式(1)～(5)中:f(·)表示靜態非線性子系統,u(k)和v(k)分別是非線性子系統的輸入和輸出,g(k)是線性子系統的輸出,y(k)是Hammerstein模型的輸出.e(k)和w(k)分別是有色噪聲模型的輸入和輸出,D(z)=1+d1z-1+…+dndz-nd是單位后移算子的多項式,dj是噪聲參數,nd是噪聲模型的階次.x(k)是狀態空間變量的矩陣x(k)=[x1(k),x2(k),…,xn(k)]T,A是狀態空間的參數矩陣,b和c是狀態空間的參數向量,b=[b1,b2,…,bn]T,c=[1,0,…,0],

采用多項式模型擬合Hammerstein模型的非線性子系統,非線性子系統的表達式如下:

v(k)=f(u(k))=
p1h1(u(k))+p2h2(u(k))+…+
prhr(u(k))=hT(u(k))P

(6)

式(6)中:P=[p1,p2,…,pr]T∈Rr×1是多項式模型的參數向量,hT(u(k))是關于輸入u(k)的基函數向量,h(u(k))=[h1(u(k)),h2(u(k)),…,hr(u(k))]T.

對于滑動平均噪聲干擾下的Hammerstein非線性模型辨識問題,我們的目標是對于任意給定的閾值ε,求解滿足下列約束條件的參數:

(7)

式(7)中:“∧”表示估計,N表示模型的數據長度.

2 滑動平均噪聲干擾下的Hammerstein模型參數辨識

為了解決中間變量v(k)不可測的問題,設計特殊的組合式信號實現Hammerstein模型參數的分離辨識.所設計的組合式信號包括幅值為0或λ的二進制信號和隨機信號.前期的研究結果表明[27,28]:當二進制信號作為輸入信號u(k)時,非線性子系統的輸出信號v(k)也是二進制信號,即v(k)與u(k)是同頻率不同幅值的二進制信號,如圖2(a)所示.使用常數增益β對u(k)的幅值進行補償,中間變量v(k)就可以用輸入信號u(k)代替,如圖2(b)所示.因此,可以實現靜態非線性子系統和動態線性子系統的參數分離辨識.

圖2 二進制信號在非線性系統下的特性

2.1 動態線性子系統和滑動平均噪聲模型的參數辨識

當Hammerstein模型的輸入為二進制信號u1(k)時,根據公式(2)可以得到:

xi(k+1)=xi+1(k)+biv(k)(i=1,2,…,n-1)

(8)

xn(k+1)=-anx(k)-an-1x(k)-…-
a1x(k)+bnv(k)

(9)

利用單位后移算子z-1的性質,分別在公式(8)的兩邊同時乘以z-1,公式(9)的兩邊同時乘以z-n,然后可以得到:

(10)

公式(10)可以簡化為:

(11)

根據公式(3)～(5)和公式(11),Hammerstein系統的輸出表達式為:

(12)

利用二進制信號的特殊性質,公式(12)中的v1(k)可以用b0u1(k)代替:

(13)

將公式(13)寫成線性回歸形式:

(14)

式(14)中:θ1=[a1,…,ana,b1,…,bnb,d1,…,dnd]T,φ1(k)=[-xna(k-na),…,-x1(k-na),u1(k-1),…,u1(k-nb),e(k-1),…,e(k-nd)]T.

定義準則函數如下:

(15)

可以推導基于輔助變量的遞推增廣最小二乘算法,辨識出線性子系統和滑動平均噪聲模型的參數.

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

2.2 靜態非線性子系統的參數辨識

為了辨識靜態非線性子系統的參數,采用隨機信號u2(k)作為Hammerstein模型的輸入,根據公式(6)和公式(12),可以得到輸入輸出表達式:

(21)

轉化為線性回歸形式:

(22)

定義準則函數如下:

(23)

針對定義的準則函數,將增廣隨機梯度算法用于參數辨識.為了提高辨識精度,在增廣隨機梯度算法的基礎上引入遺忘因子[15,29],推導了如下遺忘因子增廣隨機梯度算法:

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

3 仿真研究

為了證明提出的算法的有效性,采用本文提出的算法對滑動平均噪聲干擾下的Hammerstein非線性模型進行參數辨識.考慮如下Hammerstein非線性模型

(29)

定義噪信比為

圖3 不同噪信比下的參數辨識誤差

噪信比是指模型中噪聲與信號的比例,噪信比δns越大,表示噪聲對模型的影響越大,反之則越小.為了說明提出的方法能夠有效處理有色噪聲的干擾,圖3選取了四類不同噪信比,且逐漸增加.從圖3中容易看出,隨著噪信比δns的增加,線性子系統參數辨識的誤差百分比雖然有所增加,但總體相對穩定,且不超過30%.因此,本文提出的方法能夠有效辨識有色噪聲干擾下的Hammerstein模型.

為了說明提出的方法和加權增廣隨機梯度方法[30]對有色噪聲模型參數的辨識效果,圖4和圖5選取了兩類不同噪信比,且逐漸增加.

圖4 δns=6.61%時噪聲參數辨識結果

圖5 δns=15.67%時噪聲模型參數辨識結果

從圖4和圖5中可看出,與加權增廣隨機梯度方法相比,本文提出方法的噪聲模型參數的估計值更接近真實值.隨著噪信比δns的增加,本文提出方法的效果更加明顯.

第二階段：根據隨機信號及其對應的輸出信號,采用2.2節推導的遺忘因子增廣隨機梯度算法對非線性子系統進行辨識.仿真中,遺忘因子λ=0.877.為了更好的證明所提出算法的優越性,將推導的算法與RELS算法[31],GI算法(Gradient-based Iterative)[32]和AM-RELS算法(Auxiliary model based Recursive Extended Least Squares algorithm)[33]進行對比,四種算法對非線性子系統的擬合結果如圖6和表1所示.

表1 非線性子系統的辨識誤差

圖6 四種辨識算法對非線性擬合結果比較

從圖6和表1可看出,相較于RELS方法,GI方法以及AM-RELS方法,本文推導的方法在對Hammerstein模型的非線性子系統辨識時,具有更高的辨識精度.本文提出的遺忘因子增廣隨機梯度方法,由于在算法中引入遺忘因子,增加記憶長度,使辨識精度提高.迭代梯度方法遍歷整個數據集時,每次更新并不是向著最優的方向進行,往往出現局部最優,導致無法得到整體最優解.遞推增廣最小二乘非線性辨識方法雖然收斂速度較快,但在有色噪聲干擾下效果不理想.輔助模型遞推增廣最小二乘方法在辨識過程中因輔助模型階次的選擇不同,導致辨識結果存在一定的偏差.

增廣隨機梯度(ESG)方法計算量小,但收斂速度慢.為了提高增廣隨機梯度方法的收斂速度和辨識精度,在增廣隨機梯度方法中引入遺忘因子.遺忘因子是誤差準則函數中的加權因子,不同的遺忘因子代表對舊數據不同的遺忘速度.隨著遺忘因子增大,模型的收斂速度加快,但誤差變大;隨著遺忘因子減小,模型的誤差變小,但收斂速度變慢.因此,選擇合適的遺忘因子可以平衡收斂速度和誤差.從圖7可以看出,當遺忘因子λ=0.877時,非線性子系統擬合效果最好.

圖7 不同遺忘因子的非線性擬合結果比較

4 結論

本文針對有色噪聲干擾的Hammerstein模型的參數辨識問題,提出了一種智能分離辨識方法.通過設計特殊的組合式信號,分別對靜態非線性子系統和動態線性子系統進行參數辨識.首先,采用二進制信號作為Hammerstein模型的輸入,分析其不激發非線性子系統的性質,通過AV-RELS方法辨識出線性子系統和有色噪聲模型的參數.其次,將系統的不可測狀態變量用估計值代替,利用隨機信號的輸入輸出數據,采用FF-ESG方法得到非線性子系統的參數.仿真結果驗證了所推導的智能分離算法Hammerstein模型的參數具有較高的辨識精度.