基于粗糙集理論和優劣解距離法的多目標決策方法研究

李 平, 張 明, 張海燕*, 熊奉奎

(1.綿陽職業技術學院 智能制造學院, 四川 綿陽 621000; 2.四川輕化工大學 機械工程學院, 四川 宜賓 644000)

0 引言

復雜產品的設計方案存在多解性,亟待解決的問題是方案的評價優選,以此求得最優解[1].因此,建立快速、準確又科學的決策系統迫在眉睫,但涉及到產品的技術要求、客戶需求和經濟適用性,評判因素往往具有較強的模糊性和不確定性,使得設計方案的評價不夠合理和客觀[2].多目標決策是從20世紀70年代中期發展起來的一種決策分析方法.目前常用的多目標決策方法有線性加權法、層次分析法、目標規劃法、多屬性效應法、優劣解距離法[3-5]等.

當前研究對多目標或多指標的權重計算較為單一,多偏客觀或主觀,應用起來具有一定的局限性或者計算方法不容易掌握.本文針對主客觀賦權法的優劣,為使屬性權重的確定更加真實可靠,選擇粗糙集理論的客觀賦權和二元對比法的主觀賦權相結合的組合賦權法,實現主客觀的內在統一,并應用優劣解距離法決策出最優的產品設計方案.數控機床作為生產零部件的重要加工設備,對我國的經濟建設和國防軍事工程有著非常重要的作用,因此刀庫換刀系統作為數控機床設計的其中一個重要環節,設計方案的決策評價必須合理.

1 指標權重計算

上世紀80年代,波蘭科學家Z.Pawlak[15]提出了一種處理不完備數據的數學分析方法,即粗糙集理論.它主要從給定的樣本數據出發,僅考慮數據本身,不需要額外的附加信息或參數,因此依據粗糙集來計算屬性的權重是比較客觀的[16].

圖1 集合的上下近似概念示意圖

定于X關于R的上下近似及邊界域為:

(1)

(2)

(3)

對于任意X∈U,集合X中關于屬性R提供的數據數量的多少,這個數量被稱為重要度,則X關于R的重要度SR(X)和劃分π(U)關于R的重要度SR[π(U)]的計算公式為:

(4)

(5)

式(4)、(5)中:0≤SR(X)≤1,SR(X)越大,表示X能夠表達R的程度就越大.若SR(X)=1,則集合X可以完全表達屬性R;若SR(X)=0,則集合X完全不能表達屬性R.|·|表示集合的基數,即集合內元素的數量.

1.1 基于屬性重要度的指標客觀權重計算

基于屬性重要度計算指標權重的關鍵思路是,先確定屬性的上近似和下近似范圍,根據重要度定義計算屬性的重要度,從而發現隱藏在數據中的規則[18],然后計算關于這個屬性的重要度,最后得到此指標權重值.

根據屬性的重要度,系統中含有多個指標,分別計算各個指標權重值:

(6)

依據上述算法計算指標的客觀權重,其流程圖如圖2所示.

圖2 依屬性重要度計算客觀權重流程圖

1.2 基于屬性依賴度的指標客觀權重計算

基于屬性依賴度計算指標客觀權重的關鍵思路是,依據粗糙集理論,對屬性的依賴度理論進行深入研究[19],首先是計算各屬性的依賴度,然后計算得到指標的權重值.假設知識庫K=(U,R),?P,Q∈IND(K),屬性Q依賴于P的依賴度γP(Q)計算公式為:

(7)

式(7)中:0≤γP(Q)≤1,γP(Q)越大,表明Q對P的依賴度越高,若γP(Q)=1,表明P中包含Q的全部數據,Q對P的依賴度為完全依賴;若γP(Q)=0,表示P中不包含Q的任何數據,Q與P是絕對獨立的;而0≤γP(Q)≤1,說明P中僅包含Q的部分數據,記Q對P的依賴度為k.

根據屬性的依賴度,計算各個指標權重值:

(8)

依據上述算法計算客觀權重,其流程圖如圖3所示.

圖3 依屬性依賴度計算客觀權重流程圖

1.3 指標綜合權重計算

將由粗糙集理論確定的指標客觀權重同由二元對比法確定的指標主觀權重按照評價者的先驗知識進行權重配比,得出指標的綜合權重,避免了單獨采用主觀或客觀賦值法的不足[20-22].記ωi為第i個指標的綜合權重.

ωi=αω1i+βω2i+(1-α-β)ω3i,i=1,2,3,…,n

(9)

式(9)中:ω3i為由二元對比法確定的指標權重;1-α-β為經驗因子0≤α+β≤1,1-α-β越小,表示越注重客觀權重.

2 基于優劣解距離法的多目標決策模型

假定某產品存在m個設計方案Ai(i=1,2,3,…,m),每個方案對應n個決策指標Cj(j=1,2,3,…,n).決策團隊使用1,3,5,7和9分對每個方案相對于各個決策指標的認可程度進行打分[13].其中1,3,5,7和9分別代表“非常不認可”、“不認可”、“一般”、“認可”和“非常認可”.由此第k個決策專家的決策矩陣為:

(10)

(11)

由于決策團隊里有多個領域的專家,決策矩陣較多.這里采用算數平均法將多個決策專家的評價進行綜合.按照下面的公式整理后得到綜合決策值.

(12)

再利用如下公式計算加權后的綜合決策值.

(13)

式(13)中:ωj為用公式(9)得到的第j個指標的綜合權重.

此時設計方案選擇問題可以看作一個典型的多目標決策問題.優劣解距離法(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution,TOPSIS)是一種較常用的根據多個評價指標將多個方案與最優解方案進行比較排序的綜合評價方法[23].該方法對樣本數據的數量及分布沒有嚴格限制,能充分利用原始數據的信息,其結果能精確地反映各評價方案之間的差距,是一種非常快捷的、合理的方法[24,25].TOPSIS法的基本過程如圖4所示.

圖4 TOPSIS法流程圖

(14)

(15)

(16)

(17)

繼而就可以定義貼合度以確定所有的備選方案的排序.第i個設計方案對應的貼合度ρ為:

(18)

貼合度的值一般在0～1之間,該值越大表示對應的設計方案越接近最理想方案,反之,該值越小表示對應的設計方案越接近最劣方案.

3 應用實例

下面以某數控機床制造企業的刀庫換刀系統設計方案為例來說明所提出的多目標決策方法的合理性和適用性.此刀庫換刀系統的設計方案有3種:方案A1為鏈式刀庫+機械手換刀(如圖5所示),方案A2為斗笠式刀庫+主軸換刀(如圖6所示),方案A3為圓盤式刀庫+機械手換刀(如圖7所示).決策團隊包括產品研發、市場銷售和客戶代表等領域的專家4名.以產品設計方案的經濟性、可靠性、功能多樣性和售后支持作為評價指標.

圖5 鏈式刀庫+機械手換刀方案示意圖

圖6 斗笠式刀庫+主軸換刀方案示意圖

圖7 盤式刀庫+機械手換刀方案示意圖

表1給出了4位專家對于設計方案A1的評價.其他方案的評價形式類似,如表2、表3所示.

表1 專家對設計方案A1的評價值

表2 專家對設計方案A2的評價值

表3 專家對設計方案A3的評價值

這里采用算數平均法來收集各個決策者的評價.整理后得到刀庫換刀系統設計方案的綜合評價值,如表4所示.

表4 刀庫換刀系統設計方案的綜合評價值

依據粗糙集理論,按照公式(4)～(8)計算各個指標基于屬性重要度和屬性依賴度的客觀權重,并按照公式(9)將二元對比法計算得到的主觀權重與客觀權重相結合,這里賦予客觀較大的權重,取α=β=0.35,并將其與應用層次分析法計算結果進行對比,如表5所示.

表5 指標權重計算

(19)

(20)

圖8 設計方案的評價指標決策柱狀圖

從圖8可以看出,方案3的經濟性和可靠性的指標值最高,功能多樣性和售后支持的指標值最低,而方案1和方案2的各項指標值沒有明顯的優勢及劣勢.因此,單從柱狀圖無法判斷各個方案的優劣.

利用優劣解距離法,根據公式(14)、(15)計算得出最優方案D+和最劣方案D-.

D+=(0.164,0.240,0.146,0.082)

(21)

D-=(0.146,0.180,0.122,0.062)

(22)

三種設計方案與最優方案D+、最劣方案D-的評價結果的雷達圖如圖9所示.從圖9可以看出,方案A3的線條與最優方案D+的線條重合度最高.而方案A1的線條與最劣方案D-的線條重合度最高.

表6 貼合度及刀庫換刀系統設計方案排序

從表6可以看出,設計方案A3的貼合度最高,即綜合考慮產品的經濟性、可靠性、功能多樣性和售后支持4個指標,設計方案A3最優,這也與雷達圖的評價結果一致.結合實際生產經驗,將基于粗糙集理論和優劣解距離法的決策結果與應用層次分析法的決策結果對比,在某數控機床刀庫換刀系統的設計方案中,方案A3的設計方案更為合理,應優先考慮方案A3.

4 結論

本文主要提出了一種基于粗糙集理論和優劣解距離法相結合的多目標決策方法,并與層次分析法進行了對比,通過某數控機床制造企業的刀庫換刀系統設計方案實例驗證了該多目標決策方法的科學性和準確性.其主要結論如下:

(1)該方法依據粗糙集理論中論域的劃分確定屬性的重要度和依賴度,計算得到評價指標的客觀權重,將其與用二元對比法得到的評價指標的主觀權重以一定配比相結合,得到了指標的綜合權重,這一方法克服了傳統單一賦值法的缺陷,提高了權重分配值的合理性和科學性,從而避免了最終決策的單獨主觀或客觀的偏重.

(2)基于粗糙集理論的屬性重要度和屬性依賴度和二元對比法確定指標的綜合權重與優劣解距離法相結合的方法,給復雜產品的多目標決策提供了一種研究思路.該方法快捷,有效.通過刀庫換刀系統設計方案決策的案例驗證了所提方法比層次分析法更加合理性,適用性更強.

(3)本文未充分考慮決策者的偏好對決策的影響,未來將充分考慮針對不同領域的決策者給予一定的權重比例,以減少決策者的個人偏好對決策結果的影響.