融史入學，淺談低年級推理意識培養

洪逸倩

【摘? 要】新課標將小學階段的推理能力改為推理意識，小學低年級學生生理、心理的特殊性使教師在落實推理意識培養上遇到不少問題。數學史融入數學教學能有效推動小學低年級學生推理意識的形成。教師可以通過借助數學史料引導學生通過閱讀、模仿、解題等方式積累經驗，形成推理意識。

【關鍵詞】數學史；推理；推理意識；小學數學；低年級

《義務教育數學課程標準（2022版）》中將小學階段的推理素養改為推理意識，對推理意識定義為：對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。意識主要是指基于經驗的感悟，而能力主要是指基于概念的理解。意識與能力并不是毫不相關的，意識的形成累積最終會轉化為能力，而能力的建立是以意識為基礎。因此，從某種意義上來說“推理意識”就是在判斷一個命題的真假時會自覺或者不自覺地使用的一種心理傾向性。而推理意識的培養影響了將來推理能力的發展。

小學生推理意識的發展貫穿在整個數學學習過程中，在培養學生推理意識方面有許多研究成果可供高年級教師參考。而對于小學低年級，尤其是一年級剛入學的學生來說，推理意識的培養是不少教師面臨的挑戰。低年級孩子識字量少，自主意識薄弱，思維缺乏連貫性，在這樣的情況下，如何有效培養學生的推理意識呢？

數學史家Morris·Kline說過“歷史是教學的指南”，汪曉勤教授在他的著作中也曾指出數學史為數學教育提供了概念之源、術語之本、法則之立、學科之創、公式之導、定理之證、問題之庫、問題之解。由此可見數學史融入數學教學，會有效地促進學生推理意識的培養。

運用數學史進行數學課堂教學，洪萬生教授歸納出了三個層次：說數學史故事，啟迪學生人格；學數學家思維方法，培養學生能力；注入文化意義，實踐多元文化關懷。數學史的文化特性能賦予理性的數學學科一絲感性，融合了數學史的數學課堂將更符合低年級孩子的心理特征，更易被低年級孩子所接受。對此筆者有以下建議：

一、閱讀數學史料，營造推理氛圍

學科閱讀是近些年各個學科的熱門話題，而數學閱讀又不同于普通閱讀。數學閱讀是學生在已有知識經驗的基礎上，通過閱讀數學相關材料建構獲取數學知識和方法的活動?？梢哉f數學閱讀是學生獲取知識、信息，發展數學思維的重要途徑之一。數學書中的語言包含文字、符號、圖形，課內數學閱讀重在理解，重在內化，理解、推理、反思數學閱讀的內容。而課外的數學閱讀則是對數學閱讀能力的培養、對數學知識的擴充、對數學語言的輔助鍛煉。因此低年級學生的數學閱讀不是簡單的看圖識字，而是從數學邏輯、數學符號、數學語言上進行閱讀。

（一）課內閱讀指導

常見的數學課+“你知道嗎？”是一種數學史融入數學教育的形式。汪曉勤教授提出的數學史附加式融入教學就類似這樣的做法。以人教版一年級上冊教材為例，教材編排設計了三個“你知道嗎”，其一在學生認識了數字1～10后呈現了古代用算籌表示數的方式，其二在十以內的加減法后呈現了古埃及象形文字中算式的樣子，其三編排在認識時鐘后簡單出示了中國古代的計時工具日晷和銅漏壺。值得思考的是，教師在處理這部分內容時候通常是蜻蜓點水，讓學生看看就過。那么教材這部分的內容僅僅是為了豐富教材元素嗎？當然不是，編寫者肯定希望在有限的教材版面內給學生帶來更多的數學素養成長。

通過對教材的分析、思考，在低年級的數學課中不妨進行一些嘗試。在課堂中安排一定的時間指導學生進行閱讀，設計幾個簡單的問題讓學生在閱讀后思考，如：“你能根據這段材料的知識，用古代算籌表示數字嗎？”“你能根據古埃及象形數字的意思計算古埃及的算式嗎？”“結合我們現在的時鐘猜測一下古代計時工具的原理”等等問題，一方面培養學生邊閱讀邊思考的習慣，另一方面，從數學眼光的養成來看，這也有利于低年級學生透過古今差異現象，觀察數學本質，并且通過引導低年級學生從課內數學史料入手進行思考推理，也能在課內營造推理氛圍。

（二）課外閱讀鏈接

閱讀不僅在課內，學生大量的閱讀都是在課外進行的。從全學科閱讀的大趨勢上，我們可以發現課外的數學閱讀不僅能激發學生興趣，還能啟發學生思維。借著全學科閱讀的時機，數學教師對學生的課外閱讀進行適當的干預，則可以營造良好的推理氛圍。教師可以結合低年級學生心理特點，收集學生可參考感興趣的數學史料選擇繪本、漫畫類的書籍推薦給學生，并指導帶著問題思考閱讀，也可以將數學史料進行加工、重組，在學生閱讀后鼓勵學生錄制短視頻、繪本故事或畫成漫畫。在制作作品的過程中學生會去思考、感受歷史上的數學知識的形成，重復是人類的學習方式之一，學生通過作品制作，在這一過程中復述數學先賢們的思維路徑，以這樣的形式營造課外推理氛圍。例如小學一年級，可以從喬爾·利維的《奇妙數學史》、霍華德·伊夫斯的《數學史概論》中收集到以下史料。以這些資料為素材，引導學生進行聯想、創作數學科普小視頻，或者經由教師團隊加工形成閱讀資料、視頻動畫短片等。

二、模仿數學先賢，積累推理經驗

課堂教學是培養學生推理意識的主陣地，推理意識的培養貫穿于數學課堂教學的各個活動環節，通過多樣化的活動，培養學生的推理能力。在小學低年級，學生的推理意識培養往往在觀察、操作中通過提出簡單的猜想提升推理意識。在教學過程中，學生觀察的對象除了課本、同學就是老師，甚至可以說，學生的推理意識萌芽源于對教師推理過程的模仿。而學生在低年級能面對的數學教師往往只有一人，可模仿的素材過于單一，教師的思維廣度、推理模式對學生推理意識的形成具有一定的局限性。增加模仿對象能讓學生的思維廣度、推理角度更多元化，對此，不妨讓學生模仿數學先賢，在浩瀚歷史長河中，許許多多的數學家都能成為培養學生推理意識的素材，每一個數學家的思維路徑都能成為學生推理意識發展的助推劑。

（一）模仿探究過程積累經驗

在《義務教育數學課程標準（2022版）》中關于推理意識的表述中有這樣一句“能夠通過簡單的歸納或類比，猜想或發現一些初步的結論”。一線教師都只知道課堂上學生在觀察、類比、歸納這些環節都能較順利進行，而在提出猜想的環節尤其是低年級學生就會面臨一系列難題，內向的孩子不知道如何提出猜想，外向的孩子提的猜想天馬行空。在此時，不少教師總是以示范性的提出猜想，引導孩子“像老師這樣做”。眾多的一線教師都能感受到，模仿式的提問，學生遲早會懂得提出問題。既然如此，為何不讓學生模仿數學家們的探究過程呢？通過史料索引展示數學家的探究過程，引導學生關注，數學家是怎么發現這個數學問題的？你能像數學家一樣研究嗎？以此累積推理經驗。

（二）模仿思維模式建構知識

汪曉勤教授提出的數學史融入課堂，可以在課堂中直接呈現歷史上的數學問題或數學方法用于教學。將這個方法遷移到低年級數學課堂，引導學生模仿數學家的思考方式，經歷知識的演變過程，由復雜、曲折到簡便、順暢。人教版教材一年級下冊對于“18里面有幾個3”這類問題采用連減的方法進行解決，在二年級教學表內除法時則用除法算式結合乘法口訣進行解答。翻閱史料，我們發現歷史上解決這類數學題是由減法入手，也就是歷史上的數學家的思維更貼近于一年級的辦法。那么我們不妨引導學生像數學家那樣經歷從用減法算除法再到用乘法算除法的過程，在掌握知識的基礎上感受數學學習的整體性、一致性，同時也給乘法掌握不扎實的孩子提供了另一種計算除法的方法。如此一來遇到類似的問題，學生也懂得依據之前的學習經驗推理出新的方法，這又何嘗不是推理意識的培養呢？

三、探索數學名題，構建推理意識

當學生從數學閱讀中感受到了推理的魅力，在歷代數學家的思維模式中積累了經驗，形成推理意識是自然而然的事。生活中能讓學生鍛煉、建構推理意識的機會并不多，學生推理意識的建構、鞏固還要依賴于數學課堂、數學作業還有益智游戲。數學史不僅能為數學教學提供了數學知識形成脈絡，數學史還是數學問題之庫。低年級學生能在探索數學名題中建構推理意識。

（一）活用古代名題

小學中高年級的許多問題都能在古代數學著作中找到豐富的類型和完整的解法，如《九章算術》中行程問題、還原問題，《張邱建算經》中工程問題，以及我們最熟悉的《孫子算經》中的雞兔同籠問題。這些題目都在小學中年級后突然呈現在學生的面前，而我們也發現小學中年級學生在這一階段的推理素養突飛猛進，相信這些古代名題也是影響學生推理素養的因素之一。因此我們不妨以古代名題為原型，將題目簡化，如：《九章算術》中《均輸章》第二十七問提到：“今有人持米出三關，外關三而取一，中關五而取一，內關七而取一，余米五斗。問本持米幾何。”將這道原題進行修改，“外關取半，中關再半，內關又半”，就能適合低年級學生進行思考解答。提早讓低年級的孩子接觸這類題目，不僅對低年級學生的語言理解能力有幫助，還能為推理意識的培養提供經驗。

（二）巧用益智游戲

18世紀初瑞士數學家歐拉研究的拉丁方陣是益智游戲數獨的起源，像這類益智游戲還有二十四點、漢諾塔等等。這些經過歷史長河演變而來的益智游戲無疑是培育推理意識的養料。低年級的學生對于游戲有著強烈的參與意愿，能寓教于樂是每個教師的追求之一。因此，不妨為低年級的學生介紹九宮格、二十四點、漢諾塔這類益智游戲，讓學生自發、主動地去研究、去參與，從而發展推理素養。

低年級學生推理素養的培養方式有許許多多，而數學史的融入能為教師在培養學生推理意識上提供另類的素材。借助數學史料引導學生通過數學閱讀在學習的過程中積累更多的經驗，豐富自己的感悟，從而形成推理意識，進而強化、鞏固，這樣才能為推理能力的形成奠定厚實的基礎。

【參考文獻】

[1]汪曉勤.HPM：數學史與數學教育[M].北京：北京科學出版社，2017年版.

[2]王全來，班春紅.數學史教育在數學教學中的調查研究[J].商洛師范?？茖W校學報，2000（2）：47-50.

[3]張國定.數學史融入數學教學的實踐研究[D].蘭州：西北師范大學，2007.

（基金項目：本文系廈門市第六批基礎教育課程改革立項課題“HPM視野下小學數學思辨課堂教學模式研究”研究成果）