三角函數求值問題分類探析

王凡龍

(山東省五蓮縣第一中學)

三角函數求值問題是高考必考題型,這類問題主要考查考生對三角恒等變形的綜合應用能力,考查數學運算的核心素養.求解這類問題,不僅要用到三角恒等變換公式,還必須掌握一定的變換技巧.三角函數的求值問題最常見類型有三種:給角求值型、給值求值型和給值求角型.那么,破解這三類問題有何良策? 下文舉例說明.

1 給角求值型

對于給角求值問題,一般所給出的角都是非特殊的角,從表面上看是很難的,但仔細觀察會發現這些角與特殊角之間總有一定的關系,解題時,要結合觀察得到的關系,利用和角、差角公式、升降冪公式等進行轉化.

點評本例第(1)問用到了兩角差的余弦公式;第(2)問將切化弦,利用兩角差的余弦公式可將原式分子化成一個同角函數,再利用二倍角公式及誘導公式化簡求得結果;第(3)問結合兩角和的正切公式化簡即可得到答案.

2 給值求值型

給值求值型問題往往是給出某些角的三角函數式的值,求另外一些角的三角函數式的值,解題關鍵在于“變角”,使其角相同或有某些關系.常用的角的變形有2α＝(α＋β)＋(α－β),2β＝(α＋β)－(α－β),

方法2對原式等價變形可得

點評本例給出的兩種方法各有千秋,方法1采用了變角法,直接代入三角和的正弦公式求解;方法2采用了方程思想,先由條件等式求出角的正切值,再把所求三角式化成分子、分母關于正切的二次齊次式,最后代入求得結果.

3 給值求角型

給值求角問題實質上也可以轉化為給值求值問題,求解的關鍵是變角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函數值結合該函數的單調區間求得角.

點評注意到,故利用誘導公式和兩角和的正弦公式求解.這類問題雖然難度一般,但解答時要注意三角函數值的正負問題,要注意目標式與條件式角度之間的關系,然后通過和差角公式求解,要注意目標式的取值范圍,避免出現不符合要求的多個解情況.

從以上三類問題的舉例分析可以看出,雖然它們的解法各異,但思維程式異曲同工,即發現差異、尋找聯系、合理轉化.

(完)