基于“設而不求”下的導函數零點合理構設

巨小鵬 彭文琴

(1.四川師范大學實驗外國語學校 2.陜西省漢中市龍崗學校)

1 問題提出與解決

點評本題主要考查了利用導數研究函數的單調性從而得到函數的極值,考查了二次函數的圖像及性質.解題的關鍵在于兩點:

1)證明函數存在唯一極小值,通過零點代換將復雜的函數簡單化;

2)證明函數值范圍,通過逆向思維分析零點所在大致區間,從而得到函數值范圍,與所證明結果契合.

2 隱零點問題構設與思考

在導函數解答題求解過程中,常常利用“設而不求”解決導函數零點問題,即對隱零點進行合理構設,其思路是形式上虛設,運算上代換,數值上估計,策略上等價轉化.

2.1 直接代換

例2(2020年新高考Ⅰ卷21)已知函數f(x)＝aex－1－lnx＋lna.

(1)當a＝e時,求曲線y＝f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解析(1)因為f(x)＝ex－lnx＋1,所以f′(x)＝ex－,即k＝f′(1)＝e－1.又f(1)＝e＋1,所以切點的坐標為(1,1＋e),故函數f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y－e－1＝(e－1)(x－1),即y＝(e－1)x＋2,所以切線與坐標軸交點的坐標分別為,則所求三角形面積為

當x∈(0,x0)時f′(x)＜0,當x∈(x0,＋∞)時,f′(x)＞0,而,故lna＋x0－1＝－lnx0,因此

當0＜a＜1 時,f(1)＝a＋lna＜a＜1,所以f(1)＜1,不符合題意.

綜上,實數a的取值范圍是[1,＋∞).

點評第(2)問借助導數判斷函數f(x)的單調性,通過指對代換將函數簡單化,求出其最小值,進而通過fmin(x)≥0即可求出a的取值范圍,此法是本題的通性通法;本題也可以利用同構思想將原不等式化成elna＋x－1＋lna＋x－1≥elnx＋lnx,再根據函數h(m)＝em＋m的單調性,利用分離參數法即可求出a的取值范圍.

2.2 參數代換

例3已知函數f(x)＝eλx－λlnx.

(1)當λ＝－1時,求函數f(x)的單調區間;

(2)若0＜λ＜e,函數f(x)的最小值為h(λ),求h(λ)的值域.

當x∈(0,x0)時,t(x)＜0,即f′(x)＜0,故f(x)單調遞減;當x∈(x0,＋∞)時,t(x)＞0,即f′(x)＞0,故f(x)單調遞增,所以

點評本題考查了導數的綜合應用,考查了運算求解能力與邏輯推理能力,細心計算、合理轉化是解題的關鍵,將參數進行代換,然后構造新函數,利用新函數的性質解決問題.

2.3 隱零點同構

當a＜0,x＞0時,ax－ex＜0,所以當x＞1時,f′(x)＜0;當0＜x＜1時,f′(x)＞0,故函數f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,＋∞)上單調遞減.

2.4 隱零點估計

例5(1)討論函數的單調性,并證明:當x＞0時,(x－2)ex＋x＋2＞0;

(2)證明:當a∈[0,1)時,函數g(x)＝有最小值.設g(x)的最小值為h(a),求函數h(a)的值域.

解析(1)易知f(x)的定義域為(－∞,－2)∪(－2,＋∞),且

當且僅當x＝0 時,f′(x)＝0,所以f(x)在(－∞,－2),(－2,＋∞)上單調遞增,而當x∈(0,＋∞)時,f(x)＞f(0)＝－1,所以(x－2)ex＞－(x＋2),故(x－2)ex＋x＋2＞0.

點評第(1)問先求定義域,再用導數法求函數的單調性,進而證明當x∈(0,＋∞)時,f(x)＞f(0).第(2)問用導數法求函數g(x)的最值,再構造新函數,利用導數法求解.

(完)