例談對數函數單調性的應用

袁德成

(山東省臨沂市沂水縣第二中學)

對數函數y＝logax(a＞0,且a≠1)的單調性是由底數a決定的,當a＞1時,它在(0,＋∞)上是增函數,當0＜a＜1時,它在(0,＋∞)上是減函數.

1 求與對數函數有關的復合函數的單調區間

當一個復合函數中出現對數函數時,要求這個函數的單調區間,必須同時關注內函數與外函數的單調性,利用“同增異減”原則來確定原函數的單調區間,同時需注意函數的定義域.

由二次函數的圖像與性質,可知函數u＝－x2＋6x－5在(1,3)上單調遞增,在[3,5)上單調遞減,又由函數為單調遞減函數,故函數f(x)的單調遞增區間是[3,5).

點評本例中復合函數的外函數是對數函數,內函數是二次函數,因為外函數是減函數,所以要求原函數的增區間,就是求內函數在函數定義域內的減區間.

2 與對數函數有關的復合函數的最值問題

求函數最值,最簡捷且有效的方法就是利用函數的單調性.當函數表達式中含有對數函數時,一般需關注它的單調性,充分利用單調性來求解函數的最值.

則g(t1)＞g(t2),所以函數g(t)在[2,＋∞)上單調遞增,故當t≥2時,g(t)≥g(2)＝3,所以

故選B.

點評本題屬于復合函數的值域問題,外函數是單調遞減的對數函數,所以欲求原函數的最小值或最大值,只需求內函數的最大值或最小值.

3 比較對數值的大小

比較對數值的大小,可以先找到或構造一個函數,再考查它的單調性.

點評本例采用了作差法比較大小,同時需要分類討論,而最終起決定性作用的是利用了y＝上單調遞減這個性質.

4 求解不等式問題

求解對數不等式的關鍵是“去掉”對數符號,將其轉化為一般的不等式,這就需要逆用對數函數的單調性.

點評本例中,由于底數a的范圍沒有確定,所以需要分類討論.求解這類問題時,往往需要將常數表示成對數形式,常見的有0＝loga1,1＝logaa.

5 已知函數單調性確定參數范圍

這類問題給出的函數往往是復合函數,外函數為對數函數,內函數為一次函數或二次函數,當原函數在某區間上的單調性確定時,我們應該分別確定內、外函數的單調性,由此列出不等式或不等式組,進而求出參數的取值范圍.

例5已知函數在[－2,2]上單調遞增,則m的取值范圍是( ).

A.(2,3) B.[2,＋∞)

C.(－3,2) D.[2,3)

點評本題中的外函數是對數函數,它的單調性已經確定,為增函數,故只需內函數在給定的區間內也為增函數即可,此外還得保證它在給出的區間上的函數值恒正.

6 對數函數單調性的綜合應用

對數函數單調性的綜合應用一般出現在解答題中,可以是利用對數函數的單調性求函數值域,這類問題綜合性較強.

點評求解本題第(1)問關鍵是求出內函數的值域,然后結合對數函數的單調性求出原函數的值域,第(2)問與例5相仿.

通過以上分析不難發現,對數函數單調性的應用問題一般都可以轉化為不等式來處理,而對數型復合函數是考試命題的重點,我們應引起重視.

(完)