導數法處理不等式恒成立問題的幾種簡化思維

王玉瑩

(山東省濟寧市鄒城市第二中學)

不等式恒成立問題是高考常考題型,解題的核心思想是構造函數求最值.此類問題中大多含有參數,求解過程需要對參數的可能取值進行討論,下面介紹幾種可簡化討論的特殊思維.

1 先猜再證

例1已知函數f(x)＝ex(lnx－m),若?x∈[1,＋∞),f(x)≥－1恒成立,則實數m的取值范圍是_________.

點評不等式f(x)≥－1在x∈[1,＋∞)上恒成立,則?x0∈[1,＋∞),不等式f(x)≥－1均成立,進而可通過特值檢驗,先猜測出參數的范圍,再給出證明.

2 變更主元

例2已知函數f(x)＝mx2－x－lnmx,是否存在m＞0,使得f(x)≥0恒成立? 若存在,求出實數m的值;若不存在,說明理由.

解析假設存在滿足條件的m,使得mx2－xlnmx≥0恒成立,視m為主元,設g(m)＝mx2－x－lnmx,則g(m)≥0,即gmin(m)≥0.

點評若按常規解法,即直接求函數f(x)＝mx2－x－lnmx的最小值,需要對m的取值進行分類討論,過程較為煩瑣,視m為主元,可以有效簡化解題過程.

3 參變分離

例3已知函數,若f(x)的圖像上的點都在直線y＝kx－1的下方,求k的取值范圍.

所以h(x)在(0,＋∞)單調遞減.

又h(1)＝0,故當x∈(0,1),g′(x)＞0,g(x)單調遞增;當x∈(1,＋∞),g′(x)＜0,g(x)單調遞減,故當x＝1時,g(x)取得最大值,且

綜上,k的取值范圍是(1,＋∞).

點評參數分離后,將所求問題轉化為求不含參函數的最值,從而簡化了解題過程.應用參數分離法解題時,要注意分離過程中不等式變形的等價性.

4 放縮變換

當x－lnx3＝0,即x－3lnx＝0時,等號成立.

令h(x)＝x－3lnx,則h(1)＝1＞0,

所以存在x∈(1,e),使得等號成立.

綜上,實數a的取值范圍是(－∞,－3].

點評在解答題的求解中應用切線不等式進行放縮時,要給出其證明過程.常用的切線不等式還有ex≥ex,x－1≥lnxx≥lnx等.

5 同構轉化

例5已知函數f(x)＝aex－1－lnx＋lna,若f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍.

又g′(x)＝ex＋1＞0,所以g(x)為增函數,g(lna＋x－1)≥g(lnx)等價于

設h(x)＝lnx－x＋1,則,所以當x∈(0,1)時,h′(x)＞0,h(x)單調遞增;當x∈(1,＋∞)時,h′(x)＜0,h(x)單調遞減,故hmax(x)＝h(1)＝0,則lna≥0,即a≥1.

綜上,a的取值范圍是[1,＋∞).

綜上,針對不等式恒成立問題,除了要掌握常規的解題方法外,還要注意總結上述特殊思維,明確這些思維的適用條件,才能使解題游刃有余.當然同一道題目也可能能用多種思維方法來解決,感興趣的讀者可以自行嘗試.

(完)