分類思想在初中數(shù)學教學中的有效運用策略

葛中敏

(潁上縣第七中學 安徽阜陽 236200)

分類思想是數(shù)學問題常見的解決方法之一,將復雜的問題簡單化,達到化整為零的效果。可以說,學習分類思想就是在培養(yǎng)學生更為縝密的思維,對于初中數(shù)學而言,應用分類思想需要教師準確把握分類思想概念、貫徹分類思想教學內涵、巧妙融合課堂教學步驟。

一、分類思想的概述

從定義上來說,分類思想是給予數(shù)學本質屬性的相同或不同,對數(shù)學研究的對象進行分類的一種數(shù)學思想。分類思想在數(shù)學教學研究中具有充分的實踐意義,不僅因為數(shù)學學科本身就具有鮮明而嚴謹?shù)倪壿嫹诸愄攸c,更因為這種分類思想能夠極大地調動學生的抽象邏輯思維,引導學生從數(shù)學思維的角度去看待問題的解決途徑,可以培養(yǎng)學生的批判思維、周密思考能力以及探索能力和實踐能力。

在分類思想中,比較是分類的前提,分類以比較為基礎,而得出的結果則是通過比較而引申出的分類方式。分類思想是貫穿數(shù)學學習始終的一種思維,學生需要在學習中不斷完善自己對數(shù)學問題分類的判斷,包括從概念、定義、定理、求解方式等角度去進行分類,從而逐漸建立起自己獨特的數(shù)學邏輯思維架構,在建模的過程中,形成更為理性、有條理和有判斷的思維體系。可以說,對于分類思想概念的理解,并不是拘泥于字句說明中的學習,而是在數(shù)學學習的過程中通過練習和體會自己加以總結,每個人的數(shù)學分類方式都有屬于自己的一套邏輯。對于初中生而言,有意識地運用分類思想,是打造牢固的數(shù)學理論基礎和完善的思維模式的重要途徑,也是當下初中數(shù)學教學值得深入探討的教學創(chuàng)新思路。

二、分類思想在初中數(shù)學教學中的重要意義

隨著“立德樹人”教育理念的實施,學生的自主創(chuàng)新能力和實踐能力的培養(yǎng)逐漸成為義務教育的熱議話題,而初中階段的數(shù)學教學是學生接觸數(shù)學邏輯思維、建立理性認知的重要科目,也是學生開始形成深度思考、獨立意識的關鍵期,因此這無疑是學生創(chuàng)新能力培養(yǎng)的重要時期。分類思想就如同一個個整齊排放的“調味瓶”,是幫助學生制作出“美味菜肴”的必備原料,正所謂“工欲善其事,必先利其器”,將這些“油鹽醬醋茶”分門別類地擺放整齊,在使用時就會更加得心應手,而這顯然能夠更有效地提高學生的思考效率和創(chuàng)新能力。

數(shù)學思維是解決實際問題的高階思維,也是最樸素、有效的提高智力的方式之一。很多人為了提高記憶力,學習“記憶宮殿”之類的記憶方法,而這些記憶方法本質上就是一種數(shù)學分類思想,將不同的知識分成類別,擺放在不同的“房間”里面,當需要用到時,大腦首先不是檢索知識,而是檢索分類,順著分類的“房間”去回憶內容,極大地提高了記憶的效率和容量。因此,學習分類思想,能夠幫助學生更快地解決學科以及生活中的問題,也是提高學生頭腦敏感度的方式。以估算和精算的快速切換為例,無論在考試中還是在生活中,我們有時會碰到一些看似很復雜,實際很簡單的問題,比如“9.9×6.9與70比較大小”這種問題,如果真的要動手去算,那顯然是舍近求遠了,完全可以用“10×7=70”的方式來判斷出前者比較小的結果。我們的學生不僅要在面對考題時能夠快速切換不同的思維方式來判斷更為簡便的解題途徑,更要在面對一些生活困難時擁有靈活變通的能力,不要做“書呆子”。比如當面對一大堆無序的辦公用品時,如何能夠快速判斷出分類方式并進行公平分配呢?是讓取貨人自己拿,還是根據(jù)用品門類快速總結出分類方式,分好類之后再進行取貨呢?學生需要通過自己的判斷和行動去解決問題,這就是分類思想的教育意義。因此,教師在教學過程中,不僅要在教材內容上對分類思想有所強調,更要在實際教學情境中給予學生更多的自主思考空間,學會自己判斷,運用分類思想,進而解決問題。

三、分類思想在初中數(shù)學教學中的有效運用策略

(一)滲透分類思想,培養(yǎng)分類意識

數(shù)學是一門解決生活問題的科學,同樣分類思想也是存在于生活中方方面面的思想,要做到分類思想的滲透,就必須讓學生學會應用分類思想,形成分類意識。生活中存在很多分類數(shù)學問題,小到家庭用度的合理分類、家里書籍擺放分類、換季衣物存放分類,大到工資所得稅計算、暖氣費計算方式、銀行利息計費方式等,這些都會應用到分類思想。

教師在日常教學過程中,要鼓勵學生將所學知識應用到生活中,并積極布置一些需要進行實踐的分類概念作業(yè),讓學生學會在生活中應用分類思想,逐漸形成自主分類意識。比如初中生普遍對自己的身高較為關注,有的比較矮的學生擔心自己長不高,有的個太高的學生又擔心自己還會再“躥個”,因此教師可以給出兩個方程式:y1=0.54(a+b)和y2=0.52a+0.4615b,其中y1是男孩身高,y2是女孩身高,a是爸爸的身高,b是媽媽的身高。在帶入數(shù)值計算的過程中,學生會有意識地將男孩、女孩、爸爸、媽媽的概念逐漸區(qū)別開來,不僅可以計算自己的身高,還可以通過爺爺奶奶、姥姥姥爺?shù)纳砀叽雭頇z驗該公式的正確性,進而將其中產生偏差的因素進行分類和思考。比如老年時期與青年時期的身高差導致數(shù)值計算有誤,生長過程中藥物、飲食結構不合理等因素,抑或愛運動、隔代遺傳等因素,都可能造成數(shù)值的偏差。學生在研究和調查的過程中,會將諸多的可能性與生活經驗結合,進行合理分類、研究,從而形成更為全面、多元化的分類意識。

(二)討論數(shù)學概念,構建分類基礎

從概念認知出發(fā)的分類是分類思想的重要組成部分,定義中所包含的要素如“點的位置”“直線與圓的位置關系”“性質判定原則”等,都是掌握和判斷概念的重要影響因素,數(shù)學中常常存在很多雷同的概念,放在一起時或許可以區(qū)分開,但如果在實際應用中進行區(qū)分,就很容易造成混亂。學生在分類時必須具有清晰的發(fā)散思維,為不同的概念選擇合適的分類區(qū)塊,為雷同的概念尋找更為清晰、立體的定位,構建更為穩(wěn)健的分類認知基礎。

比如在學習“圓的基本性質”時,對于“弦心距”“圓心角”等概念的認知,以及以此推理出來的“垂徑定理”“平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧”“在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對弦的弦心距相等”等系列定理的理解,很容易混淆,尤其在面對綜合性大題時,如何有效區(qū)分、應用這些概念,是十分考驗學生的分類思維能力的。以下列這道題為例:“如圖,O是∠EPF的平分線上一點,以O為圓心的圓和角的兩邊分別交于A、B和C、D,求證:AB=CD。”在這道題目中,要證明AB=CD,首先想到的可能是用全等的概念去證明,但這種方式要畫較多的輔助線,比較麻煩,那如果注意到AB和CD同屬于⊙O的弦,那么只要畫出弦心距的輔助線,證明弦心距相等就可以了。

可以看出,要區(qū)分不同的概念,不僅要區(qū)分得清楚,更要在解題時能有效選擇最簡潔的概念來獲得最優(yōu)解。只有在學習概念的過程中不斷嘗試反向理解,進行更為細化的概念分類,才能更為靈活地運用這些相近而不同的概念,這便是分類教學的意義所在。

(三)解決實際問題,鍛煉分類能力

將理論知識落實到實踐應用中,對于初中生而言并非易事,一方面是因為教學任務較重,教師難以提供足夠的時間讓學生去實踐應用;另一方面是因為初中階段的數(shù)學在學習任務和難度上都較小學階段有很大的區(qū)別,學生需要付出大部分精力用于掌握這些知識。然而,正所謂磨刀不誤砍柴工,我們當下的素質教育要想真正突破傳統(tǒng)應試教育的枷鎖,就必須從學生的綜合素質培養(yǎng)出發(fā),適當進行取舍,給予學生更多的自主學習和實踐的機會,其中,數(shù)學綜合實踐活動就是一種較為合理的數(shù)學學習方式。

而在實踐活動中培養(yǎng)學生的應用分類能力,則是一個水到渠成的事情。以小組合作為例,面對一項課題,學生首先要面對的就是“任務分配”,如何將任務按照能力類別、難易程度、素材類型進行有效分類,盡快促成課題的圓滿完成,這便是考驗學生分類思想能力的第一步。理論設想與實踐操作是截然不同的兩種概念,學生從旁觀者轉變?yōu)閰⑴c者,在選擇、記憶與創(chuàng)新方面都會應用到意識中存在的分類概念,從而不斷完善自己的分類邏輯架構,形成更為完整的分類模式。以“圓”的學習為例,為了讓學生能夠對生活中的“圓”的應用有一個更為立體的認知,教師可以讓學生以活動小組的形式研究古代“月亮門”的制作工藝,并利用簡單的原材料制作一個可以立起來的圓形拱門。這項活動看似簡單,卻包含了中國傳統(tǒng)工藝的智慧,要將數(shù)塊木料通過榫卯連接、組合,拼裝成一個工整的圓形拱門,并非易事,不僅要會應用到圓周率、直徑、圓心等概念,更十分考驗學生的動手能力和小組合作能力,能夠幫助學生將學習到的知識進行有效的分類整理,“歸檔”到自己的“記憶庫”中去。

(四)定期回顧總結,加深分類理解

就像圍棋中要“復盤”一樣,學習任何東西如果不懂得“溫故而知新”的道理,即便當下學會了,也無法變?yōu)樽约耗X袋里的東西,最后多會“還給老師”。由此,教師可以通過“思維導圖”的方式,讓學生定期對自己掌握的知識進行有效的“分類整理”,引導學生養(yǎng)成定期分類的習慣,如此不僅能夠讓學生在學習的過程中逐漸養(yǎng)成留心分類的習慣,也能在思維導圖的繪制過程中完成一次知識的梳理,做到查漏補缺、加深理解和記憶。就以“直線與圓的位置關系”這一章節(jié)為例,該章節(jié)的內容對于“圓”這一幾何知識有承前啟后的“鏈接”作用,學生在學習的過程中能夠將前面學過的“圓的基本性質”“圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系”“圓的確定”等知識都應用到這一章節(jié)的學習中來,同時也為后面學習“三角形與圓的關系”打下基礎。

因此,教師在引導學生進行思維導圖的繪制時,要在概念整理的過程中引導學生進行“知識點回顧”說明,比如在整理“切線”相關定理時,將涉及“同位角”“圓周角”相關概念的綜合題目在思維導圖中進行知識鏈接,幫助學生建立個性化的“分類體系”。

結語

分類思想作為一種常用的解決數(shù)學問題的方法,在數(shù)學教學中應該被普遍應用,且應用的方式應該更趨向于實用化和個性化。隨著“雙減”政策的推行,初中數(shù)學教學應積極響應國家政策的有關規(guī)定,在課堂教學改革上更加注重效率、簡化程序,將更多的自主權交到學生手中,真正教育出有能力、有目標、有方向的當代合格中學生,而分類思想的培養(yǎng)能夠幫助學生形成更為嚴謹?shù)膬r值觀和數(shù)學素養(yǎng),這對于提升學生的綜合能力無疑是大有裨益的。相信伴隨著分類思想在數(shù)學課堂上的深度應用,我們的中學教育一定會取得由內而外的進步與發(fā)展。