借助抽象函數模型，解決函數性質問題

■江蘇省常熟市滸浦高級中學 夏樸

抽象函數是一類不給出具體函數解析式,只給出函數的特殊條件或特征的函數模型。抽象函數問題可以全面考查函數的概念和性質,將函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性及函數圖像等集于一身,是考查函數及其相關知識的良好載體,備受各類命題者的青睞。抽象函數問題具有較強的抽象性,問題創設新穎,構思巧妙,條件隱蔽,技巧性強,解法靈活,往往讓同學們感覺頭痛,無從下手。本文借助抽象函數模型的創設,結合函數的基本性質,打開解題思路,開拓解題思維,對抽象函數問題的解決會起到事半功倍的效果。

一、抽象函數的單調性

在研究抽象函數的單調性中,關鍵是要依據函數單調性的定義,利用任意變量x1、x2的大小關系,結合題目條件,構建與變量x1、x2相對應的函數值f(x1)與f(x2)的大小關系,得以巧妙確定抽象函數的單調性,并利用函數的單調性來解決一些諸如解不等式、判斷大小關系等應用問題。

例1已知定義在R上的函數f(x)滿足:

①f(x+y)=f(x)+f(y)+1;

②當x＞0時,f(x)＞-1。

(1)求f(0)的值,并證明f(x)在R上是增函數;

(2)若f(1)=1,解關于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)＞4。

解析：(1)令x=y=0,則f(0)=2f(0)+1,可得f(0)=-1。

設?x1,x2∈R,且x1＞x2,則x1-x2＞0,有f(x1-x2)＞-1。

又因為f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)+1＞f(x2),所以函數f(x)在R上是增函數。

(2)由f(1)=1,可得f(2)=3,f(3)=5。

由f(x2+2x)+f(1-x)＞4,可得f(x2+2x)+f(1-x)+1＞5,即f(x2+x+1)＞f(3),又函數f(x)在R上是增函數,故有x2+x+1＞3,解得x＜-2或x＞1。

故所求不等式的解集為{x|x＜-2或x＞1}。

點評:在涉及抽象函數的單調性的判定與應用中,特別是在解決與抽象函數的單調性有關的不等式求解問題時,可通過脫去函數符號“f”轉化為一般的含參數x的不等式求解,但無論如何都必須在同一單調區間內進行;若不等式一邊沒有“f”,而是常數,則應將常數轉化為相應的函數值。

二、抽象函數的奇偶性

在研究抽象函數的奇偶性時,經常借助題設中的條件,采用賦值法思維,通過特殊值的選取、相互數的選取及整體代數式的選取等方式進行化簡與轉化,進而構建出f(-x)與f(x)之間的關系,得以巧妙確定抽象函數的奇偶性,并在奇偶性的基礎上進行一些相關的綜合與應用。

例2已知定義在R上的函數f(x)對任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且當x＞0時,f(x)＞1。

(1)若函數g(x)=f(x)-1,證明:g(x)是奇函數;

(2)若f(1)=2,解不等式f(m2-4m-9)＜4。

解析：(1)令a=b=0,則f(0)=2f(0)-1,可得f(0)=1。

令b=-a,則f(0)=f(a)+f(-a)-1=1,即[f(a)-1]+[f(-a)-1]=0。

因為函數g(x)=f(x)-1,所以g(x)+g(-x)=0,又g(x)的定義域也是R,所以g(x)是奇函數。

(2)設?x1,x2∈R,且x1＜x2,則x2-x1＞0,有f(x2-x1)＞1。

因為f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0,則有f(x1)＜f(x2),所以函數f(x)在R上是單調遞增函數。

因為f(1)=2,所以f(2)=2f(1)-1=3,所以f(3)=f(1)+f(2)-1=4,那么不等式f(m2-4m-9)＜4 等價于f(m2-4m-9)＜f(3),則有m2-4m-9＜3,解得-2＜m＜6,故原不等式的解集為{m|-2＜m＜6}。

點評:在解決與抽象函數的奇偶性的判定及相關的應用問題時,賦值法思維是一種常見的思維技巧。其實,涉及抽象函數中特殊函數值的求解,抽象函數中關于x的不等式的求解等問題,往往都離不開賦值法思維及其應用。

三、抽象函數的周期性

在研究抽象函數的周期性中,往往通過含有抽象遞推函數的關系式,或賦值法處理,或恒等變形處理,合理借助關系式的特征結構變形,最終得到關系式f(x+T)=f(x)(其中T為正數),進而確定其周期性問題,并在周期性的基礎上進行周期的判斷、函數值求解及相關的綜合應用。

例3已知函數f(x)滿足:對任意的x,y∈R,有f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y),且f(1)=2,f(2)=0,則f(1)+f(2)+…+f(90)=( )。

A.-2 B.0 C.2 D.4

解析：由于f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y),令x-y=2,即x=y+2,結合f(2)=0,可得f2(y+2)-f2(y)=0,即|f(y+2)|=|f(y)|,可得函數|f(y)|是以2為周期的函數。

由f(2)=0,可得f(2n)=0,n∈N*。

由題意知f(2n+1)f(2n-1)=f2(2n)-f2(1)=-4＜0,且|f(2n+1)|=|f(2n-1)|,可得f(2n+1)=-f(2n-1),所以f(x+2)=-f(x)恒成立,則有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),那么函數f(x)是以4為周期的函數。

而f(1)=2,f(2)=0,進而求得f(3)=-f(1)=-2,f(4)=f(2)=0,則有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0。

所以f(1)+f(2)+…+f(90)=22×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=2。

故選擇答案:C。

點評:涉及此類比較復雜且有明顯規律的函數值之間的連續和、積等問題時,往往離不開抽象函數的周期性的判斷與應用。解決問題時,要合理根據題設條件中的關系式,通過賦值法等方法處理,結合函數的基本性質進行邏輯推理與歸納,確定函數的周期,進而進行求值處理。

四、抽象函數的對稱性

在研究抽象函數的對稱性時,綜合抽象函數的奇偶性,可以合理聯系起相關函數的對稱性。若函數y=f(ax+b)為偶函數,則函數圖像關于直線x=b對稱;若函數y=f(ax+b)為奇函數,則函數圖像關于點(b,0)對稱。在解決抽象函數的對稱性的判定與應用時,要注意代換法的巧妙應用。

例4已知函數y=f(2x+1)的圖像關于直線x=1對稱,函數y=f(x+1)的圖像關于點(1,0)對稱,則下列說法正確的是( )。

A.f(1)=0

B.f(1-x)=f(1+x)

C.f(x)的周期為2

D.f(x)=

解析：因為函數y=f(2x+1)的圖像關于直線x=1 對稱,所以f[2(1+x)+1]=f[2(1-x)+1],即f(2x+3)=f(3-2x)。

用x代換上式中的2x,可得f(x+3)=f(3-x),所以函數f(x)的圖像關于直線x=3對稱。

又因為函數y=f(x+1)的圖像關于點(1,0)對稱,所以f(1+x+1)+f(1-x+1)=0,即f(2+x)+f(2-x)=0,所以函數f(x)的圖像關于點(2,0)對稱。

對于f(x+3)=f(3-x),將x+1替換x,可得f(x+4)=f(2-x);

對于f(2+x)+f(2-x)=0,將x+2替換x,可得f(x+4)=-f(-x)。

所以f(2-x)=-f(-x),將-x替換x,可得f(2+x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函數f(x)的最小正周期為4,所以選項C,D 錯誤。

對于選項B,f(x+3)=f(3-x),將x-3替換x,可得f(x)=f(6-x)。

因為函數f(x)的最小正周期為4,所以f(6-x)=f(2-x),所以f(x)=f(2-x),將x+1替換x,可得f(x+1)=f(1-x),故選項B正確。

對于選項A,由f(x+1)=f(1-x),可得直線x=1為對稱軸,所以不能確定f(1)=0是否成立,故選項A 錯誤。

故選擇答案:B。

點評:抽象函數的對稱性還與函數的圖像、導函數的圖像與性質之間存在一定的聯系:若函數f(x)在定義域上的圖像是一條連續不斷的曲線,則有:①函數f(x)的圖像關于直線x=a對稱?導函數f'(x)的圖像關于點(a,0)對稱;②函數f(x)的圖像關于點(a,f(a))對稱?導函數f'(x)的圖像關于直線x=a對稱。

涉及抽象函數的基本性質問題,關鍵還是離不開函數的基本性質(單調性、奇偶性、周期性、對稱性等)的相關定義與應用,綜合一些相關的特殊值法、賦值法、化歸變換法等,借助合理的邏輯推理及數學運算等來綜合與應用,因此,同學們在平時數學學習與復習過程中,要加以重視。