考點鏈接，題型歸納
——導數及其應用

■江蘇省通州高級中學 邵春燕

導數是近幾年高考中的必考知識,通過導數研究函數的性質。在高考試題中,導數只不過是創設試題情境的一種取向,求導的過程并不難,它不是試題的最終落腳點,它的最終落腳點應是考查函數的性質、解不等式等重要的知識,以及等價轉化、分類討論等重要的數學思想方法。本文綜合2023 年高考中導數及其應用的考查及各方面的信息反饋,總結導數及其應用的高考導向主要表現在以下幾個方面。

一、導數的幾何意義問題

對于導數的幾何意義,有時直接考查相關的幾何意義,但經常也通過幾何意義的變換來加以考查,注意這是一大導向。利用導數的幾何意義,可以求解曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率、切點、切線方程、參數等問題。

故選擇答案:C。

點評:導數的幾何意義在高考中的考查方式往往是通過給定切線的方程、切線的斜率、切線與已經直線的位置關系等,結合導數的運算、關系式的確定等來求解切線的相關問題(斜率、方程)、參數問題、切線的條數問題等,是高考中比較常見的考點之一,也是我們平時要加以熟練掌握的一個知識點。

二、函數的單調性問題

利用導數的符號判斷函數的單調性,這是導數的幾何意義在研究曲線變化規律上的一個應用,它充分體現了數形結合的思想方法。用導數研究函數的單調性,可以用來解決確定單調區間,判斷函數單調性,處理相應的圖像與參數問題,比較大小關系,以及證明不等式等,同時也是解決函數的極值與最值的基礎所在。

例2(2023 年高考數學全國乙卷理科·16)設a∈(0,1),若函數f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調遞增,則a的取值范圍是_____。

解析：因為f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調遞增,所以f'(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)＞0在(0,+∞)上恒成立。

令g(x)=axlna+(1+a)xln(1+a),則g'(x)=axln2a+(1+a)xln2(1+a)＞0,故導函數f'(x)在(0,+∞)上單調遞增。

所以f'(0)=lna+ln(1+a)≥0,即ln[a(1+a)]≥0,亦即a(1+a)≥1,結合a∈(0,1),解得≤a＜1,即a的取值范圍是。

點評:判斷函數的單調性或利用函數的單調性進行解題,都是命題中比較常見的題型。這里借助函數在給定區間上單調遞增(或減),則其對應的導函數恒為正數(或負數),借助不等式的構建,為參數值的求解或其他相關應用奠定基礎。在實際解題過程中,經常結合分類討論、構造、轉化與化歸等數學思想方法。

三、函數的極值問題

函數的極值是研究函數在某一很小區域內的性質時給出的一個概念,是局部性的,它只是在與極值點近旁的所有點的函數值相比較為較大或較小,并不意味著它在函數的整個定義域內最大或最小。函數的極值問題往往涉及極值的確定、參數的求解等問題,往往與函數的單調性一起加以考查。

例3(2023 年高考數學新高考Ⅱ卷·11)(多選題)若函數f(x)=alnx+既有極大值也有極小值,則下列結論正確的是( )。

A.bc＞0 B.ab＞0

C.b2+8ac＞0 D.ac＜0

故選擇答案:BCD。

四、函數的綜合應用問題

導數是近幾年高考中的必考知識,通過導數研究函數的基本性質,合理聯系起函數的單調性、極值或最值,并與方程、不等式等方面進行交匯,融合函數與導數的知識在解答題中的應用。

例4(2023 年高考數學新高考Ⅰ卷·19)已知函數f(x)=a(ex+a)-x。

(1)討論f(x)的單調性;

(2)證明:當a＞0時,f(x)＞2lna+。

解析：(1)依題知函數f(x)的定義域為R,且f'(x)=aex-1。

若a≤0,則f'(x)＜0,故函數f(x)在R上單調遞減。

若a＞0,由f'(x)=aex-1=0,解得x=-lna。則當x∈(-∞,-lna)時,f'(x)＜0,函數f(x)單調遞減;當x∈(-lna,+∞)時,f'(x)＞0,函數f(x)單調遞增。

綜上分析,當a≤0 時,函數f(x)在R上單調遞減;當a＞0時,函數f(x)在(-∞,-lna)上單調遞減,在(-lna,+∞)上單調遞增。

(2)由(1)知,當a＞0 時,f(x)min=f(-lna)=a(e-lna+a)+lna=1+a2+lna。

點評:此類涉及函數的不等式恒成立或證明不等式問題,解題思維與方向相對比較明確,關鍵就是構造比較恰當的函數,把不等式恒成立問題加以合理轉化,借助導數法研究函數的單調性、極值或最值問題。

涉及導數及其應用問題,關鍵是理解與掌握導數的概念、導數的幾何意義,充分理解導數的基本運算,會用導數求函數的單調區間、極值及閉區間上的最值問題,并會利用導數解決實際問題。這部分內容主要考查:導數的相關概念及其運算,以及利用導數來解決相應的函數問題等。一般概念與運算問題以選擇題或填空題的形式出現,而利用導數研究函數性質問題以解答題的形式出現。