高中數學函數易錯題分析

■河南省許昌高級中學 郭曼曼

函數是高中數學的重點,也是難點。學好函數是學好高中數學的前提,那么如何更好地學習函數知識呢? 對同學們的易錯題進行分析是一個有效的途徑。本文結合實踐,分析同學們在解決函數問題過程中經常出現的錯誤,歸納了錯誤類型,并且就每種錯誤類型給出了相應的例題、錯誤解法,重點分析了錯解原因,最后給出了正確解法。

易錯點一、判斷函數的奇偶性時忽視定義域而致錯

錯因分析：函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件,因此,在判斷函數的奇偶性時,一定要先研究函數的定義域。

易錯點二、求函數定義域時條件考慮不充分而致錯

例2求函數y=+(x+1)0的定義域。

錯解：由題意得3-2x-x2＞0,解得-3＜x＜1,所以原函數的定義域為[-3,1]。

錯因分析：誤以為(x+1)0對任意實數成立。

易錯點三、忽視內層函數的值域是外層函數的定義域而致錯

例3已知函數f(x)=log3x+2,x∈[1,9],求函數y=[f(x)]2+f(x2)的值域。

錯解：因為f(x)的值域為[2,4],所以函數y=[f(x)]2+f(x2)的值域為[6,22]。

錯因分析：求函數y=[f(x)]2+f(x2)的定義域時,應考慮

正解：因為f(x)的定義域為[1,9],所以函數y=[f(x)]2+f(x2)的定義域為[1,3]。設t=log3x,因為x∈[1,3],所以t∈[0,1],由于y=t2+6t+6,t∈[0,1],所以函數y=[f(x)]2+f(x2)的值域為[6,13]。

易錯點四、求函數的單調區間時忽視定義域而致錯

易錯點五、忽略含參函數的分類討論而致錯

例5若函數f(x)=ax2-x+1-a(a∈R)在[0,2]上是單調函數,則實數a的取值范圍是____。

錯解：由函數f(x)=ax2-x+1-a在[0,2]上是單調函數,則有＜0或≥2,解得0＜a≤或a＜0。

錯因分析：函數的二次項系數含參數a,求解時應根據a是否等于0 分類討論,錯解中忽視對a=0 的討論。若a=0,則函數為y=-x+1,在R上是單調函數,滿足題意。

正解：當a=0 時,函數y=-x+1 在[0,2]上顯然是單調函數;當a≠0時,要使函數f(x)=ax2-x+1-a在[0,2]上是單調函數,則有＜0或≥2,解得0＜a≤或a＜0。綜上所述,實數a的取值范圍為。

易錯點六、忽略分段函數的分界點而致錯

錯因分析：上述錯解只考慮到使得每段函數在相應定義域內為增函數的條件,實際上函數在R上為增函數,還需要使得f(x)=(1-2a)x+3a在x≥-1上的最小值不小于f(x)=a-x在x＜-1上的最大值。多數同學由于漏掉這一限制條件而出錯。

本文從以上六個方面分析了同學們在解決函數問題過程中出錯的原因,那么我們如何做才能避免或者減少出錯呢?

(1)重視概念的理解。要深刻領悟概念的內涵和外延,熟悉函數的各種性質,注意函數性質使用的限制條件。

(2)計算時要耐心,更要細心。一些問題需要較大的計算量,不可半途而廢,更不可望而卻步,要多加練習提升自己的熟練度。還有一些問題的計算量不大但是需要同學們細心,審清題意,不可操之過急。

(3)重視數形結合方法的運用。函數的很多問題可以通過數形結合轉化成圖像問題,從而化繁為簡解決問題。

(4)建立并正確使用錯題集。對于錯題分類收錄,定期復習,找類似題目重做,通過相互交流達到對題目更深刻的理解。

心理學家桑代克說:“學習的過程是一種漸進式嘗試錯誤的過程。”沒有錯誤就不可能有進步,學習數學的過程中,勇于面對數學中的錯誤,勇于解決數學中的錯誤,錯誤就是我們的財富。