導(dǎo)數(shù)易錯題歸類分析

■河南省許昌市建安區(qū)第一高級中學(xué) 李丹

在高中階段,導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)等知識的重要工具。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),主要涉及以下四個問題:(1)理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系;(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線;(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(4)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值。這些內(nèi)容都是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn),每一個考點(diǎn)都要求理解透徹,否則做題時很容易出錯。現(xiàn)將導(dǎo)數(shù)中的易錯題整理如下,希望對同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考能有所幫助。

一、沒有正確理解導(dǎo)數(shù)定義致錯

二、求導(dǎo)時忽視常數(shù)致錯

例2若f(x)=e5+5x,則f'(x)=____。

錯解：f'(x)=5e4+5xln 5。

錯因分析：求導(dǎo)數(shù)時忽視了常數(shù)的導(dǎo)數(shù)值為零,把e5誤以為x5出錯。做題時常見的錯誤還有、f(x)=x2+f(1)求導(dǎo)得f'(x)=2x+f'(1)等。

正解：f'(x)=5xln 5。

三、求切線時忽視切點(diǎn)的位置致錯

例3已知過曲線f(x)=上的點(diǎn)P的切線方程為12x-3y-16=0,求點(diǎn)P的坐標(biāo)和切點(diǎn)坐標(biāo)。

錯解：f'(x)=x2,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),由題意知f'(x0)==4,解得x0=±2,所以。

錯因分析：過曲線的某一點(diǎn)作切線,此點(diǎn)不一定是切點(diǎn);若是曲線在某一點(diǎn)的切線,此點(diǎn)必定是切點(diǎn)。因此,做題時一定要區(qū)分函數(shù)在某點(diǎn)處的切線和過某點(diǎn)的切線,表述的意思是不同的。

四、忽視極值的存在條件致錯

例4已知x=0是函數(shù)f(x)=eaxln(x+a)的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值。

錯解：f'(x)=,又因?yàn)閤=0是f(x)的極值點(diǎn),所以f'(0)==0,解得a=±1。

錯因分析：錯解中把f'(x0)為極值的必要條件當(dāng)作了充要條件,f'(x0)為極值的充要條件是f'(x0)=0且x0附近兩側(cè)的符號相反。涉及含參函數(shù)的極大值、極小值問題,利用f'(x0)=0 求出參數(shù)后,還要檢驗(yàn)是否滿足極大值(左升右降)、極小值(左降右升)的條件。因此,本題中由f'(0)=0求得a的值后還要檢驗(yàn)所得的結(jié)果是否滿足為函數(shù)的極值點(diǎn)。

正解：前面同錯解,若a=-1,則f(x)=e-x-ln(x-1),當(dāng)x=0時,f(x)的表達(dá)式無意義,舍去。若a=1,則f(x)=exln(x+1),求導(dǎo)得f'(x)=。當(dāng)-1＜x＜0時,f'(x)＜0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x＞0時,f'(x)＞0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。所以a=1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),故a=1。

五、忽視單調(diào)性的條件致錯

例5已知函數(shù)f(x)=(a為常數(shù))在(-1,1)上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

錯解：f'(x)=,由題意可得f'(x)=≥0在(-1,1)上恒成立,即a≥1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞)。

錯因分析：課本上給出有關(guān)單調(diào)性的結(jié)論是:若f(x)在(a,b)上有f'(x)＞0,則有f(x)在(a,b)上為單調(diào)遞增函數(shù);若f(x)在(a,b)上有f'(x)＜0,則有f(x)在(a,b)上為單調(diào)遞減函數(shù)。需要注意的是這個條件只是判斷單調(diào)性的充分條件,而不是必要條件,改成充要條件是:若f(x)在(a,b)上有f'(x)≥0(或f'(x)≤0)(但這里滿足f'(x)=0的點(diǎn)應(yīng)只是個別點(diǎn),也就是f'(x)不能恒等于零),則有f(x)在(a,b)上為單調(diào)遞增(減)函數(shù)。

正解：f'(x)=,由題意可得f'(x)=≥0在(-1,1)上恒成立,即a≥1,而當(dāng)a=1時,f'(x)=0恒成立,所以當(dāng)a=1時,f(x)不是單調(diào)函數(shù)。

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+∞)。