考點“五明確”,題型“齊薈萃”
——基于集合知識的考查

■江蘇省泰興市第三高級中學 顧德勝

集合知識是歷年全國各省高考的必考內容之一。雖然高考還是考查集合的初步知識,但由于集合語言是現代數學的基本語言之一,因此考查的內涵極其豐富,考查的背景更是多彩多姿。考查集合的試題仍以客觀題為主,加以單獨知識點或多個知識點之間的整合,呈現的方式也各有特色。下面結合2023年全國高考試卷中的集合相關試題,從“五個明確”對集合知識的考查加以評析。

一、明確集合的表示

集合的表示是集合語言當中的重要內容,為了一目了然地表示一個集合的構成,要求準確把握各種集合的表示方法的特點,以及根據實際情況選擇確切的方法表示集合,同時還要加大對各表示方法之間的相互轉換。

例1(2023 年高考數學全國甲卷理科·1)設集合A={x|x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈Z},U為整數集,則?U(A∪B)=( )。

A.{x|x=3k,k∈Z}

B.{x|x=3k-1,k∈Z}

C.{x|x=3k-2,k∈Z}

D.?

分析：根據題設條件,明確集合A與集合B所表示的集合內涵,結合整數中除以3余數分別為0,1,2的三類加以分析,為進一步的集合運算提供條件。

解：依題知,集合A={x|x=3k+1,k∈Z}表示的是除以3余1的整數構成的集合,集合B={x|x=3k+2,k∈Z}表示的是除以3余2 的整數構成的集合,則?U(A∪B)表示的是除以3余0的整數構成的集合,所以?U(A∪B)={x|x=3k,k∈Z}。故選A。

點評:涉及集合的表示問題,要充分挖掘集合的內涵,同時注意各集合的表示方法之間的等價轉化與應用,這往往是解決集合問題或綜合交匯問題的關鍵所在,為進一步集合的應用提供條件。

二、明確元素的屬性

利用描述法表示集合時,必須正確判斷集合中元素的屬性,利用集合中元素的屬性來確定對應的集合,再加以分析與應用。

例2(2023 年高考數學全國乙卷理科·10)已知等差數列{an}的公差為,集合S={cosan|n∈N*},若S={a,b},則ab=( )。

分析：根據題設條件,結合等差數列的公差及對應的余弦函數的特點,確定集合S中的元素所構建數列的周期,只要在一個周期內,借助特殊值的計算來分析與確定集合S中元素的屬性與相關值,即可達到目的。

點評:在處理集合的相關問題時,要充分理解并把握對應集合中的元素屬性,有時可以用來直接求解,有時可以進行選項排除等,而這都離不開對應集合中的元素屬性的理解與應用,要加以重視。

三、明確元素的特征

非空集合中的元素具備的特征是:確定性、互異性、無序性等。集合是由元素組成的,認清集合中元素的特征,并從元素入手是解決集合問題最常見的方法,也是關鍵所在。因此,需要我們明確集合中的元素的特征,根據相關的知識加以求解。

例3(2023年高考數學上海卷·13)已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P且x?Q},則M=( )。

A.{1} B.{2}

C.{1,2} D.{1,2,3}

分析：根據題目條件,集合M中的元素同時滿足:x∈P且x?Q,結合題設集合P與集合Q中的元素,逐個分析與判斷,注意抓住集合中元素的特征,做到不重復不遺漏。

解：依題意,集合M={x|x∈P且x?Q},則M={1}。故選A。

點評:此類以創新定義的形式給出集合中元素的特征問題,關鍵是充分理解并把握創新定義的內涵與實質,抓住創新定義中元素具備的特征,充分考查考生的閱讀理解、邏輯推理及創新應用等能力。

四、明確集合的運算

集合之間的交、并運算的方法主要有:定義法、韋恩圖法、數軸法等。選擇適當的集合運算方法,結合相關知識加以求解。注意在集合的運算中,一般應把參與運算的各個集合化到最簡形式,再進行運算。

例4(2023 年高考數學新高考Ⅰ卷·1)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},則M∩N=( )。

A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}

C.{-2} D.{2}

分析：根據題設條件,先對集合N中的一元二次不等式加以求解,再利用兩集合的交集運算來分析與求解。

解：依題意,可得N={x|x2-x-6≥0}={x|x≤-2或x≥3},所以M∩N={-2}。故選C。

點評:涉及集合的運算問題,往往離不開一些不等式的求解、函數的定義域或值域的確定等相關問題,在此基礎上,正確區分不同集合中元素的屬性與特征,結合集合的運算加以轉化與應用。

五、明確集合的關系

判斷兩個集合之間的關系——子集、真子集或補集等,就是要判斷一個集合的元素是否是另一個集合的元素,從而加以判斷幾個集合之間的包含或相等關系。有時也通過符號法、數軸法、韋恩圖法等加以分析與求解,特別是針對一些抽象集合問題。

例5(2023 年高考數學新高考Ⅱ卷·2)設集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A?B,則a=( )。

分析：根據題設條件,由兩集合之間的包含關系A?B入手,結合集合A、B中元素的差異性,構建對應的方程,結合不同情況加以分類討論,并結合參數值情況加以反饋,進而判斷是否滿足條件。

解：依題意,由于A?B,則a-2=0 或2a-2=0。當a-2=0時,解得a=2,此時A={0,-2},B={1,0,2},不滿足條件A?B,舍去;當2a-2=0時,解得a=1,此時A={0,-1},B={1,-1,0},滿足條件A?B。綜上分析,可得a=1。故選B。

點評:在解決相關集合的關系問題時,根據題設條件加以全面細致分析,同時要注意對不同情況加以分類討論,并結合所求結論加以合理反饋與驗證。特別要注意集合之間的包含(或真包含)關系、補集思維或其運算性質,需要同學們在實際解題時加以靈活運用。

通過以上的“五個明確”,以及相關的2023年高考考題分析,集合部分考題通常表現在以下幾個方面:用列舉法或描述法給出集合后,考查空集或全集的概念;元素與集合,集合與集合之間的關系;集合的交、并、補運算;集合的有關術語和符號,如∈、?、∪、∩、?、等。以集合的運算為載體,廣泛應用于函數、不等式、三角、立體幾何、解析幾何等知識中,充分體現同學們對數學語言的理解和轉化能力。