一題四法證明“動”線與“定”線垂直

■成都經濟技術開發區實驗中學校 杜海洋

空間中的垂直關系有:線線垂直、線面垂直、面面垂直。垂直關系始終是立體幾何考查的重點,從近些年高考來看,以多面體為載體,重點考查空間垂直的位置關系一直是立體幾何命題的熱點。一般來講,線線垂直是主要的也是最基本的情況,在三者轉化的過程中穿針引線,無論是線面垂直還是面面垂直,都源于線與線的垂直,這種轉化為“低維”垂直的思想方法,在解題時非常重要,尤其涉及動直線與定直線的垂直問題,其思維聚焦點更顯特殊。下面,筆者通過一道高考真題來展示線線垂直的證明策略。

真題呈現(2021 年全國甲卷)如圖1,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B為正方形,|AB|=|BC|=2,E,F分別為AC和CC1的 中 點,D為棱A1B1上的點,BF⊥A1B1。證明:BF⊥DE。

圖1

分析：通過已知條件,確定三條互相垂直的直線,可建立合適的空間直角坐標系,借助空間向量證明線線垂直;由于本題涉及“動”直線與“定”直線的垂直關系,解答的思維難度和靈活度較大。

證法1(補形法)

因為BF⊥A1B1,A1B1//AB,所 以BF⊥AB。

因為AB⊥BB1,BF∩BB1=B,所 以AB⊥平面BCC1B1。

|AB|=|BC|=2,構造 正 方 體ABCGA1B1C1G1,如 圖2 所 示,過E作AB的平行線分別與AG,BC交于其中點M,N,連接A1M,B1N。

圖2

因為E,F分別為AC和CC1的中點,所以N是BC的 中 點,易 證Rt△BCF?Rt△B1BN,則∠CBF=∠BB1N。

又因為∠BB1N+∠B1NB=90°,所以∠CBF+∠B1NB=90°,BF⊥B1N。

又因為BF⊥A1B1,B1N∩A1B1=B1,所以BF⊥平面A1MNB1。

又因為ED?平面A1MNB1,所以BF⊥DE。

點評:要證線線垂直,可轉化證線面垂直。因為本題DE為動直線,所以解題目標要將直線DE放在一個平面內,通過證BF垂直此平面從而獲得證明。

證法2(幾何法)

如圖3,取BC的中點N,連接EN,B1N,所以EN//AB,即EN//A1B1,則EN//DB1,即 四 邊 形ENB1D為平面四邊形。要 證BF⊥DE,即 證BF⊥平面ENB1D。

圖3

由證法1 可得BF⊥B1N,BF⊥AB,所 以BF⊥EN。

又因為EN∩B1N=N,所以BF⊥平面ENB1D。

因為ED?平面ENB1D,所以BF⊥DE。

點評:此法的實質與證法1一樣,依然構造平面,先建立線面垂直,再推出線線垂直。證法1與證法2都是將動直線DE放在一個平面內,通過證BF垂直此平面從而獲證。由于直線DE為動直線,構造三角形形成平面行不通,所以構造一組對邊平行的四邊形是解決問題的關鍵。

證法3(坐標法)

同證法1,易得BA,BC,BB1兩兩垂直。則以B為坐標原點,分別以BA,BC,BB1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,如圖4。則B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,1)。

圖4

由題意,設D(a,0,2)(0≤a≤2)。

點評:由題意得出此幾何題屬于典型的“墻角模型”,即建立空間直角坐標系,利用坐標運算實現目標數量積為0,從而獲得證明。解答涉及“墻角模型”的立體幾何試題,建立坐標系是較簡便的解法。

證法4(基底法)

點評:基底法的本質是將所求向量運算關系轉化為題中已知模長、夾角的兩個向量運算關系,核心是轉化思想,能用坐標法就可以用基底法,坐標是建立在特殊的基底之上的,所以由證法3 就應該想到證法4。

總之,由于立體幾何中的很多問題都可以通過“化空間為平面”的思想方法來解決,因此通過作圖轉化為平面幾何中證明線線垂直的方法最為常見。常用到的知識有:勾股定理,菱形或正方形的對角線互相垂直,等腰三角形的三線合一,直徑所對的圓周角是直角,三角形全等,過切點的半徑垂直于切線等等。所以在證明過程中尋找相應的“點”進行連線是解決問題的關鍵。垂直問題在立體幾何中占有重要的地位,是歷年高考命題的熱點,空間中的垂直關系常轉化為證明線線垂直。因此,同學們一定要把證明線線垂直的方法研究透徹。