巧借法向量，破解截面問題

■福建省德化第一中學 陳玉蘭 吳志鵬(正高級教師)

在立體幾何中,截面是指用一個平面去截一個幾何體所得到的圖形。空間幾何體的截面問題是高考的難點問題,主要考查截面形狀的判斷及其周長、面積等相關(guān)計算問題,也經(jīng)常考查截面與空間幾何體棱交點的位置問題。解決這些問題的關(guān)鍵是能在幾何體中畫出截面圖形,一般可以從以下兩個視角解決:一個是傳統(tǒng)的歐式幾何的視角,根據(jù)條件畫出幾何體的截面,需要一定的空間想象能力,這對于部分同學而言是難點;另一個是向量的視角,相比傳統(tǒng)的歐式幾何,用向量的方法解決問題不需要添加太多的輔助線,思維量小。用向量法解決平面問題,重點是求平面的法向量,靈活運用法向量去求解立體幾何中“空間距離”、“空間角”等問題,本文著重介紹利用平面的法向量,求解與截面相關(guān)的問題。

一、判斷點與截面的位置關(guān)系

例1(2019年北京市高考)如圖1,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平 面ABCD,AD⊥CD,AD//BC,|PA|=|AD|=|CD|=2,|BC|=3。E為PD的 中 點,點F在PC上,且

圖1

(1)求證:CD⊥平面PAD;

(2)求二面角F-AE-P的余弦值;

(3)設點G在PB上,且。判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi),并說明理由。

解析：(1)(2)解答過程略。

(3)以點A為坐標原點,平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸,分別以為y軸,z軸的正方向建立如圖2 所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0)。

圖2

設平面AEF的法向量為m=(x,y,z),

據(jù)此可得平面AEF的一個法向量為m=(1,1,-1)。

已知平面AEF的一個法向量為m=(1,1,-1),可得

又因為點A在平面AEF內(nèi),故直線AG在平面AEF內(nèi)。

評析:解決立體幾何中點是否在平面內(nèi)即多點共面問題,如果直接作出截面與棱的交點比較困難,那么可以考慮利用法向量解決問題,即平面的法向量與平面上的每條直線都垂直,過平面內(nèi)的一點與平面的法向量垂直的直線都在平面內(nèi),利用向量的數(shù)量積是否為0,判斷點是否在平面內(nèi)。

二、探究截面圖形的基本元素

1.判斷截面圖形的形狀

例2在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別AD,C1D1的中點,過M,N,B1三點的平面截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面形狀為( )。

A.六邊形 B.五邊形

C.四邊形 D.三角形

解析：以A為坐標原點,分別 以為x,y,z軸的正方向,建立如圖3所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz。不妨設|AB|=2,則M(0,1,0),B1(2,0,2),N(1,2,2),故

圖3

設n=(x,y,z)是平面B1MN的一個法向量,則

不妨取n=(4,2,-3)。

①若截面與棱AB存在交點Q,則可設Q=(a,0,0),其中0≤a≤2,此時=(a,-1,0)。

因為MQ在平面B1MN內(nèi),所以n·=4a-2=0,解得a=。

②若截面與棱DD1存在交點R,則可設R=(0,2,b)(0≤b≤2),有=(0,1,b)。

所以n·=2-3b=0,解得b=。

依次連接點B1,Q,M,R,N,就可以得到截面為五邊形。選B。

評析:本題解答過程中假設Q點與R點是截面與棱AB、DD1的交點,此時求解出來的參數(shù)a,b均應在規(guī)定的范圍內(nèi),若不在規(guī)定的范圍內(nèi),則交點的位置發(fā)生改變,需重新假設交點的坐標。

2.求解截面的周長

例3(第十三屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽高一決賽)已知正四面體A-BCD的棱長為6,點E,F分別是△ABC,△ACD的中心,點M在AB上,且|AM|=1,過M,E,F的平面截四面體A-BCD,求截面的周長。

解析：建立如圖4 所示的空間直角坐標系O-xyz,則B,-3,0),C(,3,0),D(-2,0,0),A(0,0,2 6)。

圖4

評析:求解截面的相關(guān)問題(如截面的形狀、周長、面積等),關(guān)鍵是求截面與空間幾何體棱交點的位置。在傳統(tǒng)的幾何方法中,需要添加較多的輔助線,對同學們的幾何直觀和邏輯推理能力提出了較高的要求,難度較大。利用法向量思路清晰、思維量小,體現(xiàn)了向量在解決問題的工具性作用,對大家的空間想象能力要求不高,但對運算能力提出了挑戰(zhàn)。

三、探究截面與棱交點的位置

例4(2023 年佛山二模)中國正在由“制造大國”向“制造強國”邁進,企業(yè)不僅僅需要大批技術(shù)過硬的技術(shù)工人,更需要努力培育工人們執(zhí)著專注、精益求精、一絲不茍、追求卓越的工匠精神,這是傳承工藝、革新技術(shù)的重要基石。如圖5 所示的一塊木料中,ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,|PA|=|AB|=2,點E,F是PC,AD的中點。

圖5

(1)若要經(jīng)過點E和棱AB將木料鋸開,在木料表面應該怎樣畫線? 請說明理由并計算截面周長。

(2)若要經(jīng)過點B,E,F將木料鋸開,在木料表面應該怎樣畫線? 請說明理由。

解析：(1)以A為原 點,分 別 以,為x,y,z軸正方向,建立如圖6所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),E(1,1,1),D(0,2,0),P(0,0,2)。故=(2,0,0)=(1,1,1)=(0,-2,2)。

圖7

設n1=(x1,y1,z1)是平面ABE的一個法向量,則n1⊥,n1⊥。

故Q為線段PD的中點,連接EQ,AQ,也即BE,EQ,AQ就是應畫的線。

因為PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,所以AB⊥PA。

又AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD?平面PAD,所以AB⊥平面PAD。AQ?平面PAD,AB⊥AQ,即截面ABEQ為直角梯形。

例5在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠BAD=120°,點E為棱PB的中點,點F在棱AD上,平面CEF與PA交于點K,且|PA|=|AB|=3,|AF|=2,則點K到平面PBD的距離為____。

解析：以A為原點,分別以為x

例6如圖8所示的木質(zhì)正四棱錐模型P-ABCD,過點A作一個平面分別交PB,PC,PD于點E,F,G,若的值為______。

圖8

解析：在正四棱錐P-ABCD中,連接AC,BD交于O點,連接PO,則PO⊥平面ABCD,AC⊥BD。

以O為坐標原點,射線OA,OB,OP為x,y,z軸正方向,建立如9所示的空間直角坐標系O-xyz,設P(0,0,b),A(a,0,0),B(0,a,0),D(0,-a,0),C(-a,0,0)(a,b＞0)。

評析:截面問題以長方體或正方體為背景的問題學生比較容易入手,但對于一般的空間幾何體,學生則缺乏應對的策略,經(jīng)常會束手無策。而利用平面的法向量,可以直接從代數(shù)運算方向處理,方法簡單、思維量小。