不同的視角 同樣的精彩
——以2023年全國(guó)新高考Ⅰ卷第18題為例

■河北省南宮中學(xué) 秘曉達(dá) 霍忠林

對(duì)立體幾何中空間角計(jì)算的考查是高考中的熱點(diǎn)內(nèi)容。本文通過(guò)四種視角六種解法對(duì)2023年全國(guó)新高考Ⅰ卷第18題第二問(wèn)進(jìn)行多視角剖析,以期對(duì)同學(xué)們有所啟示。

題目：(2023年全國(guó)新高考Ⅰ卷第18 題)如圖1,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=2,|AA1|=4,點(diǎn)A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,|AA2|=1,|BB2|=|DD2|=2,|CC2|=3。

(1)證明:B2C2//A2D2;(2)點(diǎn)P在棱BB1上,當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150°時(shí),求|B2P|的值。

視角一、空間向量坐標(biāo)法

該視角就是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出所需向量,這種處理手段基本上不用作輔助線就能使問(wèn)題得到解決,且解答過(guò)程具有可操作、可模仿、機(jī)械化的特點(diǎn),因此受到大家的喜愛。

解法1:由題意知CD,CB,CC1兩兩垂直,如圖2建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz。

圖2

圖3

則A2(2,2,1),C2(0,0,3),D2(2,0,2)。

取z1=2,可得m=(t-1,3-t,2)。

設(shè)平面D2A2C2的法向量n=(x2,y2,z2),則

取z2=2,可得n=(1,1,2)。

評(píng)注:本解法將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)法向量夾角問(wèn)題來(lái)處理,這是利用空間向量坐標(biāo)法處理二面角問(wèn)題的最常用方法。

評(píng)注:本解法將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量夾角問(wèn)題來(lái)處理,這種處理手段避開了求兩個(gè)平面的法向量。

視角二、空間向量基底法

由空間向量基本定理可知:空間中的任意一個(gè)向量都可以通過(guò)空間向量的一組基底來(lái)表示,一般選取模和夾角均已知的不共面的三個(gè)向量作為基底。

視角三、傳統(tǒng)法

該視角就是通過(guò)識(shí)別幾何圖形中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,通過(guò)添加輔助線來(lái)找出空間角,進(jìn)而求得所求的結(jié)果,因此對(duì)同學(xué)們的邏輯推理能力要求較高。

解法4:如圖4,不妨設(shè)點(diǎn)P在B2上 方,連 接A1C1,B1D1,設(shè)A1C1,B1D1交 于O1,連 接O1O,易 得B1D1⊥面AA1C1C。 而B1D1//B2D2,所 以B2D2⊥ 面AA1C1C,故二面角O1-A2C2-D2為90°。而 二 面 角PA2C2-D2為150°,故 二 面 角P-A2C2-O1為60°。過(guò)點(diǎn)P作PE//B1D1交O1O于E,則|B2P|=|OE|,PE⊥面AA1C1C。由解法2知PH⊥A2C2,連接EH,則∠PHE即為二面角P-A2C2-O1的平面角,所以∠PHE=60°。

在Rt△PEH中,∠PHE=60°,|PE|=,所以在Rt△EHO中

而∠EOH= ∠O1OC2,所以sin∠EOH=sin∠O1OC2,即|OE|=1,故|B2P|=1。

根據(jù)對(duì)稱性,當(dāng)點(diǎn)P在B2下方時(shí),也有|B2P|=1。 綜上可知|B2P|=1。

評(píng)注:本解法采取分割二面角P-A2C2-D2的策略,將二面角P-A2C2-D2轉(zhuǎn)化為二面角O1-A2C2-D2和二面角P-A2C2-O1之和來(lái)處理。

解法5:如圖5,不妨設(shè)點(diǎn)P在B2上方,連接A1C1,A1O,A1B2,A2P,其中A1B2交A2P于Q,連接OQ。

圖5

易得|A1C2|==3=|A1A2|,所以A2C2⊥A1O。而四邊形A2B2C2D2為菱形,故A2C2⊥B2D2。

而B2D2∩A1O=O,所 以A2C2⊥面A1B2D2,故A2C2⊥OD2,A2C2⊥OQ,故∠QOD2即為二面角P-A2C2-D2的平面角,即∠QOD2=150°,故∠QOB2=30°。

而|A1B2|=|A1D2|=|B2D2|=2,所以△A1B2D2為等邊三角形,故∠QB2O=60°,∠OQB2=90°。

根據(jù)對(duì)稱性,當(dāng)點(diǎn)P在B2下方時(shí),也有|B2P|=1。 綜上可知|B2P|=1。

評(píng)注:本解法通過(guò)幾何關(guān)系找出A2C2⊥面A1B2D2,從而直接得到∠QOD2為二面角P-A2C2-D2的平面角,從而利用比例關(guān)系得出所求結(jié)果。

視角四、等體積轉(zhuǎn)化法

當(dāng)其中一個(gè)半平面上的點(diǎn)(不是二面角棱上的點(diǎn))到二面角的棱的距離已知時(shí),此時(shí)只需求出該點(diǎn)到另一半平面所在平面的距離,就可以求出二面角(或其補(bǔ)角)的正弦值,因此本視角不需要作出二面角的平面角,只需求出點(diǎn)到另一個(gè)半平面的距離即可,求點(diǎn)到面的距離常采用等體積轉(zhuǎn)化法來(lái)處理。

解法6:如圖6,不妨設(shè)點(diǎn)P在B2上方,且|PB2|=x。易得OB2⊥A2C2,設(shè)點(diǎn)B2到面A2C2P的距離為h,由題 意 知 二 面 角P-A2C2-B2為 30°,則,所以作P點(diǎn)關(guān)于面ACC1A1的對(duì)稱點(diǎn)P1,由正四棱柱的性質(zhì)易得P1在棱DD1上,且|PB2|=|P1D2|,二面角P-A2C2-B2與二面角P1-A2C2-D2相等。作PH⊥A2C2,垂 足 為H,連 接P1H,則P1H⊥A2C2,故 ∠PHP1即 為 二 面 角P-A2C2-P1的 平 面 角。 而 二 面 角P-A2C2-B2為30°,所以∠PHP1=120°。

圖6

根據(jù)對(duì)稱性,當(dāng)點(diǎn)P在B2下方時(shí),也有|B2P|=1。 綜上可知|B2P|=1。

評(píng)注:由于OB2⊥A2C2,二面角P-A2C2-B2為30°,所以可以求出點(diǎn)B2到面A2C2P的距離h,接著通過(guò)三棱錐的等體積轉(zhuǎn)化即可找到h與x的關(guān)系,最后求出x的值。

綜上所述,空間向量坐標(biāo)法對(duì)同學(xué)們的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)較高,對(duì)于容易建系的試題優(yōu)先選用此方法;但是對(duì)于一些不容易建系的試題,空間向量基底法和傳統(tǒng)法更具有優(yōu)勢(shì),其中空間向量基底法需要選擇合適的空間基底向量,不需要找出空間角;傳統(tǒng)法需要找出空間角,但是一旦找出空間角就可以利用三角形幾何關(guān)系得出答案;等體積轉(zhuǎn)化法也不需要找出空間角,它是利用一個(gè)半平面的點(diǎn)到另一半平面的距離與該點(diǎn)到棱的距離之比求出二面角的正弦值,這種轉(zhuǎn)化很巧妙。