空間向量與立體幾何單元測試(B卷)答案與提示

一、單選題

1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.C 7.C 8.A

二、多選題

10.BCD 取EF的中點H,連接EH,CH(圖略),則,A 錯誤。

其俯視圖如圖1所示,可得點C的坐標(biāo)為(-2,2,2),O,E,F,A四點共面,B,C正確。

圖1

11.AD 提示:由題意,平面α,β,γ兩兩互相垂直且有一個公共點O。

不妨將平面α,β,γ放置在正方體ABCO-A1B1C1O1的三個相鄰面中,記平面ABCO為平面α,記平面AOO1A1為平面β,記平面OCC1O1為平面γ,則直線l1為OA,直線l2為OO1,直線l3為OC。

記正方體ABCO-A1B1C1O1棱長為1。

以點O為坐標(biāo)原點,OA、OC、OO1所 在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖2。

圖2

則點O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),O1(0,0,1),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1)。

又直線l過點O,再取l上一點P,設(shè)點P(a,b,c)。

易知平面γ的法向量為m=(1,0,0),設(shè)l與平面γ所成的角為θ。

對于選項B,易知平面α的法向量為n=(0,0,1),平面β的法向量為t=(0,1,0)。

若l與平面α,β,γ所成的角相等,則三個線面角的正弦值相等。

所以|a|=|b|=|c|,即P(a,a,a)或P(a,-a,a)或P(a,a,-a)或P(a,-a,-a),則這樣的直線l有4條,B錯誤。

對于選項D,因為點P在l1,l2,l3的投影分別為P1,P2,P3,則P1(a,0,0),P2(0,0,c),P3(0,b,0)。

所以|P1P2|2+|P2P3|2+|P1P3|2=[(a-0)2+(0-0)2+(0-c)2]+[(0-0)2+(0-b)2+(c-0)2]+[(a-0)2+(0-b)2+(0-0)2]=2a2+2b2+2c2。

又2|OP|2=2[(a-0)2+(b-0)2+(c-0)2]=2a2+2b2+2c2,所以2|OP|2=|P1P2|2+|P2P3|2+|P1P3|2,D 正確。

12.ABD 提示:對于A,以D為原點,以DA,DC,D1D所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖3所示。

因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,所以A(2,0,0),D(0,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2),B(2,2,0)。

因為DP?平面AB1C,所以DP//平面AB1C,故A 正確。

對于B,設(shè)點F到平面ABB1的距離為h,則VB-AB1F=VF-BAB1=S△BAB1·h。點F在正方體的面CC1D1D內(nèi)(含邊界)移動,又因為平面DCC1D1//平面ABB1,所以點F到平面ABB1的距離h為定值。

又因為S△BAB1為定值,所以三棱錐BAB1F的體積為定值,故B正確。

對于D,如圖4 連接B1C,B1D1,由正方體的性質(zhì)知,D1C//A1B,D1C?平面A1BD,A1B?平面A1BD,所以D1C//平面A1BD。

圖4

B1C//A1D,B1C?平面A1BD,A1D?平面A1BD,所以B1C//平面A1BD。D1C∩B1C=C,所以平面D1B1C//平面A1BD。

點F在正方體的面CC1D1D內(nèi)(含邊界)移 動,當(dāng)F∈CD1,則B1F?平 面D1B1C。

則B1F//平面A1BD,則F點軌跡為線段CD1。

取CD1的中點H,連接AD1,AH,而△ACD1為等邊三角形,則|AH|=

三、填空題

16.②③④ 提示:由題知,以C點為坐標(biāo)原點,以CD,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖5所示的空間直角坐標(biāo)系。

圖5

令正方體ABCDA1B1C1D1棱長a=2。

則C(0,0,0),D(2,0,0),B(0,2,0),A(2,2,0),C1(0,0,2),D1(2,0,2),B1(0,2,2),A1(2,2,2),P(1,1,1),Q(1,2,2)。設(shè)T(x,y,z)。

又EF和EH為平面EFGH中的兩條相交直線,所以BQ⊥平面EFGH。

為使PT⊥BQ,必有點T∈平面EFGH。

又點T在正方體表面上運動,所以點T的軌跡為四邊形EFGH。

又|EF|=|GH|=2,|EH|=|FG|=,所以|EF|≠|(zhì)EH|,則點T的軌跡為矩形EFGH,故③正確。

結(jié)合點T的軌跡為矩形EFGH,分類討論下列兩種可能取得最小值的情況:

當(dāng)z=1,y=0或y=2時,|PT|=1;

當(dāng)y=1,z=或z=時,|PT|=。

四、解答題

17.(1)連接AE并延長交CD于M,則M為CD的中點。

(2)根據(jù)題意,BE⊥平面ACD,因此,直線FG與平面ACD所成角的正弦值即為直線FG與直線BE所成角的余弦值的絕對值。

則直線FG與平面ACD所成角的正弦值為。

18.(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1//BB1。

因為BB1?平面BB1C1C,AA1?平面BB1C1C,所以,AA1//平面BB1C1C。

因為AA1?平面AA1EF,AA1EF∩平面BB1C1C=EF,所以,AA1//EF。

因為平面ABC//平面A1B1C1,平面AA1EF∩平面ABC=AF,平面AA1EF∩平面A1B1C1=A1E,所以,A1E//AF。

因此,四邊形AA1EF為平行四邊形。

(2)因 為AB⊥AC,平 面ABC⊥平 面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC,AB?平面ABC,所以,AB⊥平面AA1C1C。

以點A為坐標(biāo)原點,AB、AC所在直線分別為x軸、y軸,平 面AA1C1C內(nèi)過點A且垂直于AC的直線為z軸,建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系。

圖6

19.(1)因為PC⊥底面ABCD,AC?平面ABCD,所以PC⊥AC。

因為|AD|=|CD|=1,AD⊥CD,所以,∠CAD=45°。

又AB//CD,|AB|=2,所以∠BAC=45°,|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB|·|AC|cos∠BAC=2。

則|BC|2+|AC|2=|AB|2,故AC⊥BC。

因 為PC∩BC=C,PC,BC?平 面PBC,所以AC⊥平面PBC。

又AC?平面ACF,所以平面PBC⊥平面ACF。

(2)取AB的中點N,連接CN。

因為底面ABCD是直角梯形,AD⊥CD,AB//CD,|AB|=2,|AD|=|CD|=1,所以CN⊥AB。

因為PC⊥底面ABCD,CD,CN?平面ABCD,所以PC⊥CN,PC⊥CD。

以C為坐標(biāo) 原 點, 以CN,CD,CP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖7 所示的空間直角坐標(biāo)系。

圖7

則A(1,1,0),B(1,-1,0),E。設(shè)P(0,0,a)(a＞1),則

設(shè)平面PAB的法向量為m=(x1,y1,z1),則:

解得y1=0。

令z1=1,得x1=a,故m=(a,0,1)。

20.(1)PA⊥底面ABC,AB,AC?平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC。

則由旋轉(zhuǎn)可得PA⊥AD,|AB|=|AD|=1,

又∠BAC∈(0,π),故當(dāng)∠BAC=時,sin∠BAC取最大值1。

故當(dāng)∠BAC=時,該組合體的體積最大,最大值為+。

(2)如圖8,以A為 原 點,AC為x軸,AP為z軸,在平面ABC上作y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),C(1,0,0),P(0,0,2)。

圖8

綜上,直線PC與平面PBD所成角的正弦值為

21.(1)因為AD//BC,所以∠PDA為異面直線PD與BC所成的角,故∠PDA=45°。

又因為AB⊥AD,AP∩AD=A,AP?平面PAD,AD?平面PAD,所以AB⊥平面PAD。

AB?平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD。兩平面交線為AD,令A(yù)D的中點為O,則PO⊥AD,故PO⊥平面ABCD,即PO就是點P到平面ABCD的距離。

又因為|PO|=|AD|=1,所以點P到平面ABCD的距離為1。

(2)延長DE,AB,設(shè)DE∩AB=G,連接PG,所以平面PAB與平面PDE的交線l即為直線PG。

又PO⊥ 平 面ABCD,故以O(shè)為坐標(biāo)原點,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖9。

圖9

圖10

則P(0,0,1),G(4,-1,0),A(0,-1,0),B(2,-1,0),D(0,1,0)。

又因為PD⊥AP,AB∩AP=A,AB?平面PAB,AP?平面PAB,所以PD⊥平面PAB。

平面QAB的一個法向量為=(0,-1,1)。

設(shè)平面QCD的法向量為n=(x,y,z)。

22.(1)C1D⊥ 平 面ABC,BD,AC?平面ABC,則C1D⊥BD,C1D⊥AC。

又△ABC為等邊三角形,D為AC中 點,則BD⊥AC。以_D

又BD∩DE=D,BD,DE?平面BDE,故A1C⊥平面BDE。

令3-λ=t∈(2,3),則λ=3-t。

銳二面角F-BD-E的余弦值的取值范圍為。