創新，從集合開始

■揚州大學數學科學學院 張雨嫣

創新意識與創新應用是時代的召喚與主旋律,也是高中數學學習過程中不斷滲透與培養的一種基本精神。而集合作為高中數學學習的第一個知識點,可以很好地加以鋪墊,以集合為依托,以“問題”為核心,以“探究”為途徑,以“發現”為目的,很好地融入創新意識與創新應用,也為高中數學的學習開了一個好頭。

一、新概念

例1若一個數集中任何一個元素的倒數仍是該數集中的元素,則稱該數集為“可倒數集”。試寫出一個含有3 個元素的可倒數集為_____。

分析：借助數集所滿足的特殊條件來定義新概念,利用特殊的對稱性,結合新概念集合中含有3個元素(奇數個)來構建方程,確定其中一個元素的值,再結合新概念所對應的集合的基本特征寫出滿足概念的集合即可。

點評:解決此類集合中的定義新概念問題,關鍵是正確分析、理解并掌握新概念的內涵與實質,抽象出對應新概念的屬性,并結合結論所要確定的目標進行邏輯推理或代數運算。此題以開放性創新題的形式來創設,答案不唯一,從概念、形式等多個層面加以創新,很好地融入創新意識與創新應用。

二、新名稱

分析：本題以集合的子集為背景,創新定義集合中的新名稱——“長度”,根據該集合的新名稱,分別確定集合M、N的“長度”,而求解M∩N的“長度”,就可以轉化為求解兩線段公共部分最短時的長度值。

解：根據新名稱——“長度”,可知集合M的“長度”為,集合N的“長度”為,集合“{x|0≤x≤1}”的“長度”為1,那么求解M∩N的“長度”的最小值,就相當于求兩線段公共部分最短時的長度值。如圖1 所示,設AB是一長度為1 的線段,a是長度為的線段,b是長度為的線段,a,b可在線段AB上自由滑動,a,b重疊部分的長度即為M∩N的“長度”,由圖1 可知,當a,b各自靠近線段AB的兩端(如a靠近端點A,b靠近端點B)時,重疊部分最短,所以集合M∩N的“長度”的最小值是。

圖1

故選擇答案:C。

點評:解決此類集合中的定義新名稱問題,關鍵是挖掘新名稱的實質,以對應定義的新名稱所對應的集合的實質,或元素屬性,或集合運算,或集合性質等來轉化與應用。此題以集合的“長度”來創新定義集合所對應的區分的長度,“數”與“形”合理滲透與轉化,以“形”創新解“數”,數形結合,創新應用。

三、新運算

例3設U為全集,對于集合X,Y,定義新運算“*”:X*Y=?U(X∩Y)。對于集合U={1,2,3,4,5,6,7,8},X={1,2,3},Y={3,4,5},Z={2,4,7},則(X*Y)*Z=____。

分析：正確分析題意,根據定義的新運算,以及集合的交與補的基本運算加以交匯與綜合,先確定X*Y所對應的集合,再利用定義的新運算,進一步確定(X*Y)*Z的集合,實現集合的創新運算的應用。

解：由于U={1,2,3,4,5,6,7,8},X={1,2,3},Y={3,4,5},Z={2,4,7},可得X∩Y={3}。由題中定義的新運算,可得X*Y=?U(X∩Y)={1,2,4,5,6,7,8},則有?U(X∩Y)∩Z={2,4,7}。所以(X*Y)*Z=?U[?U(X∩Y)∩Z]={1,3,5,6,8}。

故填答案:{1,3,5,6,8}。

點評:解決此類集合中的定義新運算問題,關鍵是挖掘新運算的內涵與運算規則,同時應用集合中已有的交、并、補等基本運算,以及相關的代數運算等加以綜合,正確邏輯推理,巧妙代數運算,從而達到解決創新應用問題的目的。

四、新性質

例4(多選題)設集合P為實數集R的非空子集,若對任意的x,y∈P,都有x+y,x-y,xy∈P,則稱集合P具有“封閉性”。則下列說法中正確的是( )。

A.集合P={a+|a,b為整數}具有“封閉性”

B.若集合P具有“封閉性”,則一定有0∈P

C.具有“封閉性”的集合一定是無限集

D.若集合P具有“封閉性”,則滿足P?T?R的任意集合T也具有“封閉性”

分析：根據集合所具有的新性質——“封閉性”來創設,利用選項中的不同場景,結合新定義加以逐一分析與判斷,或推理論證,或特殊值處理,或舉反例等,從不同的視角切入,借助不同的方法來分析與解決。

解：對于選項A,任取x,y∈P,不妨設x=a1+b1,y=a2+b2(a1,a2,b1,b2∈Z),則x+y=(a1+a2)+(b1+b2),其中a1+a2,b1+b2均為整數,即x+y∈P,同理可得x-y∈P,xy∈P,故選項A 正確;

對于選項B,當x=y時,0∈P,故選項B正確;

對于選項C,當集合P={0}時,P具有“封閉性”,但不是無限集,故選項C錯誤;

對于選項D,設集合P={0}?T={0,1},顯然P具有“封閉性”,T不具有“封閉性”,故選項D 錯誤。

綜上分析,說法正確的是選項A、B。

故選擇答案:AB。

點評:解決此類集合中的定義新性質問題,關鍵是挖掘新性質的本質,借助邏輯推理、代數運算等來分析,有時也可以通過特殊值法處理或舉反例辨錯等方式來闡述集合新性質問題。此題以多選題的形式來創設,設置不同情境,借助不同方法來分析與處理,更好地滲透了數學知識、數學能力與數學思想等,倡導創新意識與創新應用。

五、新綜合

例5已知有限集A={a1,a2,…,an}(n≥2,n∈N*),如果集合A中的元素ai(i=1,2,3,…,n)滿足a1·a2·…·an=a1+a2+…+an,就稱集合A為n元“創新集”。

(1)若ai∈R,試寫出一個二元“創新集”A;

(2)若a1,a2∈R,且{a1,a2}是二元“創新集”,求a1·a2的取值范圍;

(3)若ai是正整數,求出所有的“創新集”A。

分析：根據新定義——n元“創新集”,挖掘實質,從集合列舉、函數與方程、不等式求解,以及邏輯推理等多個層面加以綜合,結合韋達定理與反證法思維來解決創新綜合問題。

解：(1)等。(答案不唯一)

(2)若a1,a2∈R,且{a1,a2}是二元“創新集”,不妨設a1+a2=a1·a2=m,則由根與系數的關系知a1,a2是一元二次方程x2-mx+m=0的兩個實數根,由判別式Δ=m2-4m＞0,解得m＜0或m＞4,即a1·a2＜0或a1·a2＞4,所以a1·a2的取值范圍為(-∞,0)∪(4,+∞)。

(3)不妨設集合A中的元素a1＜a2＜a3＜…＜an,由a1·a2·…·an=a1+a2+…+an＜nan,可得a1·a2·…·an-1＜n。

當n=2時,有a1＜2,結合ai是正整數可得a1=1,于是1+a2=a2,此時無解,不存在滿足條件的“創新集”A;

當n=3 時,有a1a2＜3,故只能a1=1,a2=2,求得a3=3,此時“創新集”A只有一個為{1,2,3};

當n≥4 時,由a1·a2·…·an-1≥1·2·3·…·(n-1),若“創新集”A存在,則需n＞1·2·3·…·(n-1),但是1·2·3·…·(n-1)≥(n-1)(n-2)=n2-3n+2矛盾,即當n≥4時不存在“創新集”A。

綜上分析,可知“創新集”A={1,2,3}。

點評:解決此類集合中的定義新綜合問題,關鍵是理清題目的創新內涵,綜合集合、函數與方程、不等式等相關知識加以交匯,滲透相關的數學思想與數學方法,實現問題的交匯與融合。此題以集合新綜合為問題背景,巧妙融入集合、函數與方程、不等式等知識,以及推理與證明、數學運算等基本能力。

創新意識與創新應用問題可以很好地考查同學們的閱讀理解能力、創新應用能力、知識遷移能力與終生學習能力等,也是歷年高考命題中的一大亮點,備受各方關注。融入集合知識,滲透創新意識與創新應用,有效檢測同學們對知識理解與掌握的廣度和深度,挖掘同學們的學習潛能,提高數學品質,提升數學能力,培養創新意識與數學核心素養。