淺析常用邏輯用語的命題方向

■甘肅省教育科學(xué)研究院 卞蕾

在高考中,常用邏輯用語一般與其他知識(shí)相結(jié)合,主要考查命題及其關(guān)系、含邏輯聯(lián)接詞的命題的真假判斷、存在量詞命題與全稱量詞命題的判斷及其否定的書寫、充要條件的判定,通常有以下六個(gè)命題方向。

一、充分條件與必要條件的判斷

充分條件、必要條件、充要條件的考查范圍廣,需要同學(xué)們注重對(duì)綜合知識(shí)的積累。

例1已知p:方程x2-4x+4a=0有實(shí)根;q:函數(shù)f(x)=(2-a)x為增函數(shù)。則p是q的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：因?yàn)榉匠蘹2-4x+4a=0 有實(shí)根,所以Δ=16-16a≥0,所以a∈(-∞,1];因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(2-a)x為增函數(shù),所以2-a＞1,所以a∈(-∞,1)。因?yàn)?-∞,1)真包含于(-∞,1],所以p是q的必要不充分條件。故選B。

例2已知圓C1:x2+y2=1和圓C2:(x-a)2+y2=16,其中a＞0,則使得兩圓相交的一個(gè)充分不必要條件可以是( )。

A.3＜a＜5 B.3＜a＜6

C.4＜a＜5 D.2＜a＜5

解析：由題意知C1(0,0)且半徑r1=1,C2(a,0)且半徑r2=4,結(jié)合a＞0,可知當(dāng)r2-r1＜a＜r2+r1時(shí),兩圓相交,則3＜a＜5,所以A 選項(xiàng)為3＜a＜5的充要條件;B,D選項(xiàng)為3＜a＜5 的必要不充分條件;C 選項(xiàng)為3＜a＜5的充分不必要條件。故選C。

例3若x＞0,y＞0,則“x+y＜4”的一個(gè)必要不充分條件是( )。

A.x2+y2＜8 B.

C.xy＜4 D.

二、根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍

在由充分必要條件求解參數(shù)的取值范圍問題時(shí),一定要注意端點(diǎn)是否能取到。

例4若“1＜x＜2”是“不等式(xa)2＜1 成立”的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )。

A.[1,2) B.(1,2]

C.[1,2] D.(1,2)

解析：由(x-a)2＜1得a-1＜x＜a+1,因?yàn)?＜x＜2是不等式(x-a)2＜1成立的充分不必要條件,所以即解得1≤a≤2。故選C。

例5設(shè)p:2x2-3x+1＜0,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)＜0,若q是p的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )。

三、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假

例6已知命題p:?x∈N,使得 ex＜0(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù));q:?x∈R,都有x2+|x|≥0,則下列判斷正確的是( )。

A.p真,q假 B.p真,q真

C.p假,q真 D.p假,q假

解析：因?yàn)?x∈N,都有ex＞0,所以命題p為假命題;因?yàn)?x∈R,都有x2≥0,|x|≥0,所以x2+|x|≥0,所以命題q為真命題。故選C。

例7下列命題中為假命題的是( )。

A.?x∈R,sinx=

B.?x∈R,lnx=-1

C.?x∈R,x2＞0

D.?x∈R,3x＞0

解析：對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?1≤sinx≤1,所以?x∈R,sinx=,所以選項(xiàng)A 的命題為真命題;對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)x=時(shí),lnx=-1,所以選項(xiàng)B 的命題為真命題;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)x=0時(shí),x2=0,所以選項(xiàng)C 的命題是假命題;對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)閥=3x的值域?yàn)?0,+∞),所以?x∈R,3x＞0,所以選項(xiàng)D的命題為真命題。故選C。

四、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

全稱量詞命題與存在量詞命題的否定是將條件中的全稱量詞和存在量詞互換,結(jié)論變否定。全稱量詞命題和存在量詞命題的否定要注意是全否,而不是半否。

例8命題“?x∈[-1,2],x2＜1”的否定是( )。

A.?x∈[-1,2],x2≥1

B.?x?[-1,2],x2＜1

C.?x∈[-1,2],x2＜1

D.?x∈[-1,2],x2≥1

解析：由存在量詞命題的否定知原命題的否定為“?x∈[-1,2],x2≥1”。故選D。

五、根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍

在解決求參數(shù)的取值范圍問題時(shí),可以先假設(shè)兩個(gè)命題都為真命題,如果哪個(gè)是假命題,去求真命題的補(bǔ)集即可。由全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷來求參數(shù)問題相對(duì)較難,要注意端點(diǎn)是否可以取到。

例10已知命題p:?x∈R,a＜3x2024+1,若p為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____。

解析：若“?x∈R,a＜3x2024+1”為真命題,則等價(jià)于a＜(3x2024+1)min。因?yàn)閤2024≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí),等號(hào)成立,所以3x2024+1≥1,即(3x2024+1)min=1,所以a的取值范圍為(-∞,1)。

例11已知命題“若x＞a,則＞0”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____。

解析：由＞0可得x(x-1)＞0,解得x＞1或x＜0。因?yàn)椤叭魓＞a,則＞0”是真命題,所以x＞a能使x＞1或x＜0成立,即a≥1,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞)。

例13若命題“?x∈[1,2],使得x2+lnx-a≤0”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____。

解析：由命題“?x∈[1,2],使得x2+lnx-a≤0”為假命題,可知當(dāng)x∈[1,2]時(shí),x2+lnx＞a恒成立,所以只需a＜(x2+lnx)min。設(shè)f(x)=x2+lnx,則f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,所以a＜f(1)=1。故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1)。

六、有關(guān)命題的綜合性問題

例14下列說法正確的是( )。

A.命題“?x＞0,x2+x＞1”的否定是“?x0＞0,+x0＜1”

B.“α＞β”是“sinα＞sinβ”的必要不充分條件

C.命題“?α,β∈R,使得sin(α+β)=sinα+sinβ成立”為真命題

D.“a＞b”是“2a＞2b”的充分不必要條件

解析：對(duì)于選項(xiàng)A,“?x＞0,x2+x＞1”是全稱量詞命題,其否定是存在量詞命題,該命題的否定為“?x0＞0,+x0≤1”,所以選項(xiàng)A 錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,“若sinα＞sinβ,則α＞β”是假命題,如,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,取α=β=0,則sin(α+β)=sin 0=sin 0+sin 0=sinα+sinβ,所以選項(xiàng)C 正確;對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)楹瘮?shù)y=2x是R上的增函數(shù),則“a＞b”是“2a＞2b”的充要條件,所以選項(xiàng)D 錯(cuò)誤。故選C。

綜上可知,能否準(zhǔn)確作答常用邏輯用語問題取決于與之關(guān)聯(lián)的知識(shí)是否掌握牢固。而與之綜合的知識(shí)一般都是較為基礎(chǔ)的知識(shí),所以只要明確每一種命題方向的核心問題,即可順利解答。