注重?cái)?shù)學(xué)概念教學(xué),發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

施小山

[摘? 要] 概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，是落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵. 注重概念教學(xué)，厘清概念本質(zhì)，明確核心素養(yǎng)的六大要素對(duì)學(xué)生的發(fā)展具有重要意義. 文章結(jié)合幾個(gè)實(shí)際案例，從以下幾方面展開闡述：發(fā)現(xiàn)并提出問題——引入概念;關(guān)注數(shù)學(xué)抽象——建立概念;注重邏輯推理——理解概念;發(fā)展理性思維——應(yīng)用概念;倡導(dǎo)單元教學(xué)——掌握概念.

[關(guān)鍵詞] 概念;核心素養(yǎng);邏輯推理

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標(biāo)）的頒布與實(shí)施，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出了明確要求，并將數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象、數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算六大要素歸納為數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo). 概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體，其教學(xué)成功與否直接影響著各要素目標(biāo)的達(dá)成. 為此，筆者特別針對(duì)高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)進(jìn)行了大量研究，并取得了一定效果.

發(fā)現(xiàn)并提出問題——引入概念

概念反映的是同類事物關(guān)鍵、共同的屬性，這些屬性一般從大量同類事物的不同例證中逐一發(fā)現(xiàn)，而后匯總到一起，抽象成概念. 概念作為單元教學(xué)的“前菜”，是課堂教學(xué)不可或缺的一部分，尤其是概念導(dǎo)入成敗，對(duì)教學(xué)成效有著直接影響. 因此，教師在概念導(dǎo)入環(huán)節(jié)，應(yīng)基于學(xué)生實(shí)際認(rèn)知需求與存在的困惑，站在學(xué)生的角度，設(shè)計(jì)科學(xué)、合理的問題，以啟發(fā)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度來觀察、分析問題，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并提出問題，這不僅能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)一類事物的共同屬性，為概念抽象奠定理論基礎(chǔ)，還能幫助學(xué)生形成良好的創(chuàng)新意識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)更多、更復(fù)雜的概念奠定方法基礎(chǔ).

案例1 “函數(shù)概念”的教學(xué)導(dǎo)入.

問題 在一定量的水里加鹽，鹽水濃度未飽和前，鹽水濃度和添加的鹽的質(zhì)量之間是怎樣的關(guān)系？若為函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)指出誰是自變量，誰是因變量.

師：審題時(shí)，大家要注意題目中提到的“鹽水濃度未飽和前”這個(gè)條件，請(qǐng)根據(jù)這個(gè)條件提出一些新的問題.

生1：（問題1）當(dāng)鹽水濃度飽和后，鹽水濃度和添加的鹽的質(zhì)量之間具備函數(shù)關(guān)系嗎？

生2：（問題2）鹽水濃度在飽和前、后的過程中，鹽水濃度和添加的鹽的質(zhì)量之間具備函數(shù)關(guān)系嗎？

師：問題提得很好，該怎么解答呢？

生3：我認(rèn)為這兩個(gè)問題都不具備函數(shù)關(guān)系. 問題1提到的鹽水濃度已經(jīng)飽和，那么鹽水濃度就屬于常量，它不會(huì)因?yàn)辂}的添加而發(fā)生變化;問題2提到的是鹽水濃度飽和前、后的過程，這里存在兩個(gè)變化過程，應(yīng)該不是函數(shù)關(guān)系.

師：這位同學(xué)分析得有道理. 但本節(jié)課將要顛覆大家的看法，我們今天要研究的正是這兩個(gè)問題——鹽水濃度和添加的鹽的質(zhì)量之間存在的函數(shù)關(guān)系.

（學(xué)生一個(gè)個(gè)驚訝地望著教師，表現(xiàn)出明顯的探索欲）

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生對(duì)函數(shù)概念并不陌生，如果按部就班地直接切入課堂主題，會(huì)讓一些學(xué)生難以提起學(xué)習(xí)興趣. 而鹽水情境的導(dǎo)入，成功引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)了學(xué)生的探索欲.

概念教學(xué)伊始，教師從學(xué)生的心理特征出發(fā)，通過激趣、懸念等方式揭示待學(xué)概念的必要性與特殊性，能為課堂教學(xué)奠定較好的情感基礎(chǔ)，讓學(xué)生帶著疑慮、渴望進(jìn)入課堂. 學(xué)生對(duì)函數(shù)“變量說”定義的理解為：在一個(gè)變化過程中，已知變量x與y，若x確定為某個(gè)值，則能相應(yīng)地確定y值，稱y為x的函數(shù).

按照初中階段的理解，在函數(shù)關(guān)系中，數(shù)值發(fā)生變化的那個(gè)量為變量，而數(shù)值恒定不變的量為常量. 但“一個(gè)變化過程”究竟是什么呢？初中階段并沒有給予科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f明，從中能看出初中階段所接觸到的函數(shù)概念還具有一定的探索空間. 在本節(jié)課中，教師以一個(gè)生活情境為引例，讓學(xué)生從這個(gè)生活情境中自主發(fā)現(xiàn)并提出問題，以成功激起學(xué)生的認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生的探究興趣.

關(guān)注數(shù)學(xué)抽象——建立概念

所謂的數(shù)學(xué)抽象是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象數(shù)量關(guān)系和空間形式的抽象. 概念形成過程是數(shù)學(xué)抽象過程，在此過程中，學(xué)生通過對(duì)一些典型事例的比較、分析、歸納，從而抽象出數(shù)學(xué)事物的基本結(jié)構(gòu)或一般規(guī)律，也就是數(shù)學(xué)事物共同的本質(zhì)特征，且能用數(shù)學(xué)符號(hào)、語言或圖形進(jìn)行表征.

數(shù)學(xué)概念本身具有客觀性與抽象性，但學(xué)生一般難以領(lǐng)悟其中的內(nèi)涵. 因此，關(guān)注數(shù)學(xué)抽象對(duì)概念教學(xué)具有重要影響，究竟該如何讓學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象的幫助下建立數(shù)學(xué)概念呢？實(shí)踐證明，問題串的應(yīng)用能為學(xué)生數(shù)學(xué)抽象搭建“腳手架”，幫助學(xué)生形成概念，促進(jìn)學(xué)生思維成長.

案例2 “函數(shù)單調(diào)性概念”的教學(xué).

問題1 分別觀察函數(shù)f（x）=x+1的圖象（見圖1）與函數(shù)g（x）=x2的圖象（見圖2），說說由左到右它們的變化規(guī)律.

問題2 如何從函數(shù)值與自變量變化的視角來刻畫圖象變化規(guī)律？

問題3 該用什么樣的數(shù)學(xué)符號(hào)來表達(dá)：函數(shù)f（x）位于R上，函數(shù)g（x）位于區(qū)間[0，+∞）上，自變量x增大，函數(shù)值也增大？

問題4 嘗試用數(shù)學(xué)語言總結(jié)函數(shù)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的概念.

設(shè)計(jì)意圖 問題串的設(shè)計(jì)，意在讓學(xué)生通過對(duì)問題的逐個(gè)突破，體驗(yàn)概念從圖形語言（上升、下降）到自然語言（增大、減小），再到符號(hào)語言（單調(diào)性）的轉(zhuǎn)變過程.

學(xué)生的思維經(jīng)歷直觀形象到抽象邏輯的轉(zhuǎn)化，充分感知數(shù)學(xué)直觀描述到符號(hào)表達(dá)的抽象流程，能促進(jìn)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

注重邏輯推理——理解概念

邏輯推理作為核心素養(yǎng)六大要素之一，是促進(jìn)學(xué)生思維成長的主要途徑. 概念教學(xué)離不開邏輯推理的協(xié)助，一般的概念理解涵蓋探究概念變式與重建概念系統(tǒng)兩部分. 其中，概念變式有式子、圖形與符號(hào)變式，以及反面實(shí)例與等價(jià)說法等，一類事物的共同本質(zhì)屬性是概念的本質(zhì)特征，變式訓(xùn)練則有利于學(xué)生從不同的角度分析概念本質(zhì);重建概念系統(tǒng)是指新舊認(rèn)知互相作用，最終建構(gòu)新的概念結(jié)構(gòu)的過程.

為了在概念教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，教師可有針對(duì)性地進(jìn)行概念變式訓(xùn)練與重建概念系統(tǒng)練習(xí)，讓學(xué)生通過獨(dú)立思考與合作交流等方式，不斷提升自身的認(rèn)知能力，建構(gòu)完整的認(rèn)知體系，為后續(xù)靈活應(yīng)用概念夯實(shí)基礎(chǔ). 實(shí)踐證明，“實(shí)驗(yàn)法”是發(fā)展學(xué)生邏輯推理能力的重要手段，尤其在概念教學(xué)中，融入動(dòng)手操作過程，能讓學(xué)生在親身體驗(yàn)中自主抽象出概念，深化對(duì)概念的理解.

案例3 “線面垂直概念”的教學(xué).

高中生本就擁有一定的生活經(jīng)驗(yàn)，對(duì)線面垂直有著初步感性認(rèn)識(shí)，但要從概念本質(zhì)上來說什么是線面垂直，卻有一定的困難. 因此，教師可通過遞進(jìn)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，以增加學(xué)生的直觀感受，并讓學(xué)生在邏輯推理中獲得概念的本質(zhì).

首先，教師帶領(lǐng)學(xué)生一起回顧直線和平面具有怎樣的位置關(guān)系，引發(fā)學(xué)生感知“線面垂直”是一種特殊的線面相交關(guān)系，此過程也能反映出在線面垂直的狀態(tài)下，線和面非斜角的理論. 至于如何刻畫線面“不斜”的問題，學(xué)生眾說紛紜，如90°角、垂直等.

師：線面垂直究竟是誰和誰垂直？你們所說的90°角，角的頂點(diǎn)是什么？邊又是什么？

隨著問題的提出，學(xué)生進(jìn)入了思考狀態(tài)，并在教師的引導(dǎo)下，呈現(xiàn)出了以下探究活動(dòng).

探究活動(dòng)1：將書本豎立在課桌桌面上，觀察書脊所在的直線和書頁面與桌面的交線的關(guān)系，感知“線與平面上的線垂直關(guān)系的‘存在性”.

探究活動(dòng)2：觀察不同時(shí)間，太陽照射下旗桿和地面上影子的關(guān)系，感知“線與平面上的線垂直關(guān)系的‘無限性”.

探究活動(dòng)3：將直角三角尺斜立在課桌桌面上，一條直角邊緊貼桌面，另一條直角邊和緊貼于桌面那條直角邊的平行線都垂直，但此條直角邊所在的直線與桌面并非垂直的關(guān)系. 由此，讓學(xué)生感知“線與平面上的無數(shù)條線垂直，但線和面不一定垂直”.

設(shè)計(jì)意圖 三個(gè)操作活動(dòng)，從不同角度詮釋了“線面垂直”的情況，為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝茖?dǎo)出線面垂直的概念奠定了基礎(chǔ).

喬治·波利亞認(rèn)為：數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹學(xué)科，實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)創(chuàng)造與歸納的基礎(chǔ). 他還指出：數(shù)學(xué)思維并非“純形式”的，不僅有定理、公式等的嚴(yán)格證明，還有推廣、歸納與類推等. 上述探究活動(dòng)，讓學(xué)生親歷了知識(shí)的“再創(chuàng)造”過程，有效發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

發(fā)展理性思維——應(yīng)用概念

理性思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的靈魂，聚焦數(shù)學(xué)理性思維與科學(xué)精神的教學(xué)理念，對(duì)學(xué)生世界觀的形成以及終身可持續(xù)發(fā)展具有深遠(yuǎn)影響. 概念作為理性思維的基礎(chǔ)，應(yīng)著眼于“回到概念中去，形成以概念為出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)行問題的思考與解決”，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科精神，發(fā)展學(xué)生的理性思維具有重要影響. 另外，概念的實(shí)際應(yīng)用，是發(fā)展學(xué)生理性思維的重要過程.

案例4 “導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的教學(xué).

問題：與曲線y=x3相切，且過點(diǎn)（1，0）的直線方程是什么？

生4：經(jīng)分析可知，切點(diǎn)為，

或（0，0），因此切線方程為27x-4y-27=0或y=0（舍）.

師：為什么要舍去y=0？

生4：直線y=0與x軸重合，可以看出直線y=0與曲線y=x3的唯一公共點(diǎn)就是它們的交點(diǎn)（原點(diǎn)），但它們的交點(diǎn)不是切點(diǎn)，因此要舍去.

師：獲取數(shù)學(xué)結(jié)論，不能依靠直覺經(jīng)驗(yàn)，而要通過科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)驗(yàn)證.

此時(shí)，教師打開幾何畫板，先作出函數(shù)y=x3的圖象，然后在曲線y=x3上任意取動(dòng)點(diǎn)P，作出P與原點(diǎn)O的割線PO. 當(dāng)P沿著曲線接近原點(diǎn)時(shí)，割線PO就趨近于x軸. 當(dāng)P與原點(diǎn)O重合時(shí)，割線PO與x軸重合.

生5：從切線定義出發(fā)，x軸確實(shí)是y=x3于原點(diǎn)處的切線.

師：不錯(cuò)，那么曲線和其切線有幾個(gè)公共點(diǎn)？

生6：兩者為相切的關(guān)系，必然只有一個(gè)公共點(diǎn)，若出現(xiàn)兩個(gè)公共點(diǎn)，就不是相切的關(guān)系了.

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家繼續(xù)看幾何畫板的演示，如圖3所示，曲線y=x3與切線27x-4y-27=0之間除了切點(diǎn)外，是不是還存在一個(gè)交點(diǎn)A？

（學(xué)生驚詫不已）

設(shè)計(jì)意圖 在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，借助多媒體糾正學(xué)生的思維定式，同時(shí)也讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，每一個(gè)理論都需要有周密的證明過程，不能憑借直覺與經(jīng)驗(yàn)去解題.

通過幾何畫板來驗(yàn)證y=0也是曲線y=x3的切線，成功地顛覆了學(xué)生原有認(rèn)知，此教學(xué)過程讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到用概念來判斷問題的重要性，為學(xué)生形成善于思考、勇于質(zhì)疑、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神奠定了基礎(chǔ).

倡導(dǎo)單元教學(xué)——掌握概念

單元教學(xué)是新課標(biāo)倡導(dǎo)的教學(xué)方式之一，該教學(xué)法主張以核心概念作為主題教學(xué)的中心，并以此為輻射點(diǎn)展開系列教學(xué).

案例5 以“函數(shù)”為主題的單元教學(xué).

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中極其重要的核心理念，函數(shù)思想貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程. 以“函數(shù)”為主題的單元教學(xué)，可按照“背景—定義—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用—基本初等函數(shù)”的順序展開.

以上述過程作為研究函數(shù)的一種套路進(jìn)行推廣，可以應(yīng)用到一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象的研究中. 遵循這個(gè)規(guī)律進(jìn)行研究，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)與提出新的問題，并在分析和解決問題的過程中形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

崔允淳提出：指向?qū)W科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的大單元設(shè)計(jì)是落實(shí)“立德樹人”理念，深化課程改革的必然要求，亦是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要方式. 單元教學(xué)一改教師的示范性，以學(xué)生的模仿為主，突出學(xué)生在課堂中的主體性.

總之，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，是落實(shí)與發(fā)展核心素養(yǎng)的關(guān)鍵. 教師應(yīng)從思想與行動(dòng)上注重概念教學(xué)，不斷更新自己的教育教學(xué)理念，與時(shí)俱進(jìn)，應(yīng)用先進(jìn)的教學(xué)手段發(fā)展學(xué)生的“四基與四能”，從真正意義上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).