讓數學建模素養在“三育”教學土壤上茁壯成長

祁山國寶

[摘? 要] “育魚”“育漁”和“育欲”代表著數學建模教學的“三育”，其中“育魚”代表“授基礎”，“育漁”代表“育方法”，“育欲”代表“誘樂趣”. 教師要有目的地創建“三育”教學土壤，以讓數學建模素養得以有效扎根并成長.

[關鍵詞] 數學建模;核心素養;“三育”教學

中國有句古諺：“授人以‘魚，不如授人以‘漁;授人以‘漁，不如授人以‘欲.”其寓意為單純地把知識教授給人，不如把獲取知識的方法與技能傳授給人;單純地把方法與技能傳授給人，不如把人們愿意主動汲取知識的那種“求知欲”和“斗志欲”喚醒、誘活.

但是，在現實的建模學習中，學生往往沒法辨清代表知識的“魚”，也沒能悟透用以獲取知識的“漁”，更缺乏主動求知的強烈欲望和主動把愿望付諸行動的高昂斗志. 因此，在實際建模教學中，“魚”“漁”與“欲”這三者，我們不能只抓其中的一者，而要三者兼顧——既要教育學生辨清“魚”，又要培育學生悟透“漁”，還要滋育學生染上“欲”.

在建模教學中，我們把育清“魚”，育透“漁”，育醒“欲”，簡稱為“三育”. 其中，“魚”代表數學建模時學生要用到的理論依據和知識框架，“漁”代表數學建模中學生駕馭并挪用理論知識和數學思想去解決數學問題的手段、技巧與方法，“欲”代表學生對建模學習的欲望、興趣與熱情，它是學生能否成功獲取“魚”和“漁”的保障. “育魚”代表“授基礎”，“育漁”代表“育方法”，“育欲”代表“誘樂趣”，三者緊密相連，環環相扣，只有當三者的關系被正確且有效處理好時，學生的數學建模素養才能有效落實，學生才能從“厭學”升華到“愛學”，從不情愿地、被動地接納知識的初級層面跨越到興奮地、主動地捕獲知識的高級層面.

數學建模教學中教師要重視抓實“三育”，要多教育學生把握“魚”的內涵，要多培育學生領悟“漁”的精髓，要多滋育學生把內心強烈的“學習欲”迸發出來. 教師要有目的地創建“三育”教學土壤，讓學生的數學建模素養在“三育”教學土壤上茁壯成長.

要教育學生辨清“魚”，疏導學生把建模理論基礎夯實

數學知識是從生活實踐中概括抽象出來的，最后又借助數學建模再用到現實中去解決生產與生活過程遇到的各類問題. 學生在數學建模領域存在認知空白，不完全是因為學生的認知能力差，而是因為學生還沒真正學好數學語言去刻畫周邊的問題，以及還沒夯實數學建模時需要用到的理論基礎. 因此，在建模教學時，教師要引導學生把建模需要用到的“魚”事先捋順、悟清，夯實、悟透，即教師應事先把建模要用到的理論依據、數學語言給學生疏導與溫故一遍，讓學生對其有個清晰的認識.

例1 美林湖摩天輪，位于廣東省清遠市，是國內屋頂摩天輪之一. 美林湖摩天輪的輪盤直徑為84米，其最高點距離地面高度為101米. 美林湖摩天輪勻速轉動一周需耗時t分鐘，李紅在美林湖摩天輪座艙轉到距離地面最近的位置進艙并開始計時. 如果美林湖摩天輪只轉動一周，要讓李紅距離地面80米以上的時間至少5分鐘，那么時間t的最小值應為多少？

分析 摩天輪類問題能用三角函數來刻畫的根源是什么？這是多數學生心中的困惑. 要解決這一困惑，教師可先展開“魚”的教學，通過逐層誘導、深入剖析，讓學生徹底辨清并領悟摩天輪類運動的本質和緣由. 當學生再次碰到此類問題時，就能快速做出反應，利用三角函數深入化解.

因此，筆者構造了以下問題，讓學生把刻畫摩天輪類問題的“魚”先辨清、吃透.

問題1 如圖1所示，M為單位圓上一點，∠BOM=α，怎樣用三角函數刻畫點M的坐標？

答：M（cosα，sinα）.

問題2 若將圖1中的圓半徑改為A，其他條件不變，點M的坐標又是什么？

答：M（Acosα，Asinα）.

問題3 如圖2所示，若∠BOD=φ，∠DOM=α，圓半徑為A，則怎么表示點M的坐標？

答：因為∠BOM=φ+α，所以M（Acos（α+φ），Asin（α+φ））.

問題4 在圖2中，∠BOD=φ，圓半徑為A，若某人由D點開始，沿著圓周逆時針按角速度ω rad/min勻速走動，經x分鐘后到達M點，則∠DOM為多少？怎么表示點M的坐標？

答：由D點經x分鐘后到達M點，則∠DOM=ωx，此時∠BOM=ωx+φ，故M（Acos（ωx+φ），Asin（ωx+φ）），即y=Asin（ωx+φ）.

經歷上述問題的逐層啟發和誘導后，學生很容易悟出三角函數同圓周運動存在密切關系——做圓周運動的點能用三角函數來刻畫，而摩天輪類問題就是一個圓周運動問題，故摩天輪類問題能用三角函數來刻畫.

解析 建立平面直角坐標系，作出表示摩天輪轉盤的圓M（如圖3所示），其中點M為圓心，x軸位于與地面平行的直線上，y軸位于過點M且垂直于地面的直線上.

設y=Asin（ωx+φ）+b（A>0，ω>0，b≥0），其中y為李紅離地面的距離，x為李紅坐上摩天輪的實際時間.

依題意可得y=101，y=17，周期為t. 所以A=（y-y）=42，b=（y+y）=59，ω=.

再由函數圖象過點（0，17）可得φ=-. 所以y=42sin

-≥5，解得t≥15，故t的最小值為15.

點評 當遇見現實問題時，學生能否快速抽象出其蘊含的數學模型，取決于學生對這個知識模塊的學習與領悟深度. 因此，在夯實數學建模理論基礎時，教師要多點“魚”的教學，要讓學生把建模過程中需要用到的“魚”事先辨清、吃透.

要培育學生悟透“漁”，引誘學生把建模通性通法領悟透徹

在數學建模過程中，許多學生往往找不到破解問題的突破口，其中關鍵的一個原因是學生還不懂如何去尋找客觀事物與數學模型之間的橋梁，還不明白怎么去捕捉現實問題與數學模型之間的紐帶與紅線. 因此，在建模教學中，教師要把尋找橋梁、捕捉紐帶的“漁”教給學生，讓學生學清楚、悟透徹，教師要多點“漁”的教學，要點撥學生懂得追根溯源、動中尋定，要啟發學生擅長去發現破解問題的突破口，要誘導學生善于去捕捉拓展問題的紐帶與紅線，要引導學生把建模的通性通法磨清楚、悟透徹.

例2 已知有一地塊，形狀為正三角形ABC，邊長為2千米，邊BC的中點為D. 政府計劃由D出發修兩條筆直小道DE與DF，小道寬度忽略不算，射線DE，DF與邊AB，AC分別交于E，F，∠EDF=60°;在四邊形AEDF圍成的地塊內政府預種植草坪綠化，其他地塊作為儲備用地留作它用. 求草坪面積S的最大值.

分析 為授之以“漁”，教師可啟發學生善于從多個角度切入展開構思，引導學生從致使面積發生變動的成因入手深入剖析，學會動中尋定. 因∠BDE是面積變動的根源，故可用“角”設元，構建三角函數后求最值;又線段CF的長也是面積改變的動因，故可用“線段”設元，借助打勾函數再利用基本不等式求最值.

解法1 “角”是面積改變的動因，用“角”設元.

設∠BDE=α（30°<α<90°），由題意得∠BED=∠CDF=120°-α，∠CFD=α.

在△BDE和△CDF中，分別根據正弦定理可得BE=，CF=.

點評 教師對學生數學思想方法和解題思路技巧等進行點撥與啟迪時，可多點“漁”的育導，讓學生拓寬思維層面、積蓄解題悟性，從而快捷地挖掘并發現動中蘊含的定性、問題背后深藏的本質，找出規律，實現化疑解惑.

要滋育學生染上“建模欲”，激勵學生“搶著學”“盼著學”

數學建模中的“欲”，是指學生探索數學建模的一種好奇心，是指學生學習數學建模的一份熱情、興趣和欲望，是學生在建模過程中的一種情感、認可度和價值觀的集中展現. 如果教學中只重視知識的傳授和方法的啟迪，只注重“魚”和“漁”的教學與培養，而忽視了學生“欲”的誘導與激勵，那么學生的學習頂多只能處在一種被動接納知識的啟蒙階段. 因此，在教學中，授學生以“魚”和“漁”的同時，還要多點“欲”的熏陶，教師要不斷地想方設法喚醒學生的學習熱情和欲望，要讓學生的自尊心受到保護，要讓學生的好奇心得以呵護，要讓學生真正感受到數學建模的價值和意義，要把學生的“愛學欲”培養并激發.

例3 為提升銷售業績，公司制定下列獎勵措施：每月員工工資包括0.8萬元基本工資和獎金，且獎金y（萬元）跟隨月銷售總金額x（萬元）的變動而變化，月銷售總金額越大獎金越多;同時每月最高獎金不能高于月銷售總金額的1%，每月最低獎金不低于-0.6萬元，當獎金為負數時，要在員工基本工資上扣掉相應的金額. 另外，由于公司生產力受限，每月每個員工銷售總額不超過500萬元.

現有獎勵模型：①y=f（x）=x-1.2;②y=f（x）=-0.6;③y=f（x）=x2-0.6. 請判斷當x∈[0，500]時，上面哪個獎勵模型更適合公司需求？

分析 判斷哪個獎勵模型更適合公司需求，教師可引導學生從函數最值的大小對員工積極性的影響做判斷，滲透數學模型的用途和意義;可啟發學生從函數零點大小與公司發展前景的關系入手進行篩選，滲透數學模型的作用和價值;另外，教師還可誘導學生站在公司高層管理的角度，從數學模型對緩解公司現有競爭壓力、減緩公司目前所遭受的困境等方面的影響切入剖析，做出取舍，滲透數學模型的實踐指導意義和應用價值. 教師要引導學生從多角度切入剖析，讓學生明白原來這么多數學知識與生活息息相關，讓學生領悟學好并用好數學知識可以化解這么多現實難題，進而激發學生的“學習欲”，讓學生更“想學”、更“愛學”！

解析 根據每月最低獎金不低于-0.6萬元，代表y的最小值為-0.6，而模型①的最小值為-1.2，故不滿足獎金最低值的限定，可以排除掉.

對于模型②，其他條件都滿足，但函數零點太小，代表公司月銷售額的最低指標定得過低，員工不需要怎么費力就可以輕松拿到獎金，而且最大值沒有超過1.7萬元，代表員工即使努力使月銷售額突破頂峰500萬元，獎金也不高，不利于激發員工的積極性. 因此，模型②不符合公司客觀需求，也應排除掉.

對于模型③，所有條件都符合，函數零點也適中，代表員工拿到獎金的門檻不高，大多數員工經過一定的努力都能拿到獎金;獎金最大值接近5萬元，有較大的誘惑性，可較大程度地激發員工努力去拓寬渠道提升月銷售額以拿到更高的獎金. 因此，從公司長遠發展的綜合角度來看，最理想的獎勵模型是模型③.

點評 為授學生以“欲”，則教師要讓學生切身感受數學模型的價值和意義，進而激發學生濃厚的學習欲望. 教師不能單純為了解題而講題，若學生失去了學習欲望與熱情，哪怕教師授的“魚”和“漁”再精彩，學生也會因為沒有食欲而進食無味.

總之，數學建模是數學課本知識通往生活實踐與應用的一座堅實橋梁，更是解開學生心結，讓學生從“學會”進階到“會學”，從模仿跨越到創新的一把高效鑰匙. 在建模教學中，教師要抓實“三育”，重視對“魚”內涵的啟迪、對“漁”本質的栽培、對“欲”靈魂的勸導與誘激;要有意識地把數學建模思想滲透到日常教學活動中去，多給學生營造數學建模素養成長的氛圍和土壤;要借助各種方法和手段激發學生對數學建模的濃厚興趣和愛好，讓學生在數學建模的活動中切身感受并領悟數學與現實的關聯，體會并感悟數學給生活帶來的便利，讓學生的數學思維品質和數學核心素養在建模實踐過程中不斷完善和深化.