極值點偏移問題的破解策略

■江蘇省阜寧縣實驗高級中學 周 敏

極值點偏移問題是近幾年高考數學中比較經常出現的一類熱點問題之一,也是考生比較難處理的一類常見問題。結合極值點偏移問題的三個常見破解策略,通過實例加以剖析,歸納總結破解的基本技巧與方法,引領并指導同學們進行復習備考。

若單峰函數f(x)的極值點為m,且函數f(x)滿足定義域內x=m左側的任意自變量x都有f(x)>f(2m-x)或f(x)

一、對稱變換

例1已知函數f(x)=xe-x。

(1)求函數f(x)的單調區間和極值;

(2)若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求證:x1+x2>2。

解析:(1)求導可得f′(x)=e-x(1-x)。令f′(x)>0,得x<1;令f′(x)<0,得x>1。所以函數f(x)在(-∞,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減。所以f(x)有極大值f(1)=f(x)無極小值。

(2) 構造輔助函數F(x)=f(x)-f(2-x),x>1,求導得F′(x)=f′(x)+f′(2-x)=e-x(1-x)+ex-2(x-1)=(x-1)·(ex-2-e-x)。

因為當x>1 時,x-1>0,ex-2-e-x>0,所以F′(x)>0,所以F(x)在(1,+∞)上為增函數,所以F(x)>F(1)=0,故當x>1時,f(x)>f(2-x)。 (*)

由f(x1)=f(x2),x1≠x2,可設x1<1f(2-x2)。

又因為f(x1)=f(x2),所以f(x1)>f(2-x2),又x1<1,2-x2<1,而f(x)在(-∞,1)上單調遞增,所以x1>2-x2,所以x1+x2>2。

點評:對稱變換策略主要是解決極值點偏移問題中與兩個極值點之和(或積)相關的不等式的證明問題。對稱變換策略的解題要點為:(1)定函數(極值點為x0);(2)構造函數,即根據極值點構造對稱函數F(x)=f(x)-f(2x0-x),若證x1x2>,則令F(x)=;(3)判斷單調性;(4)比較大小;(5)轉化。

二、消參減元

例2已知函數f(x)=x2+2x-2lnx,若方程f(x)=x2+2m有兩個不等實數根x1,x2,求實數m的取值范圍,并證明:x1x2<1。

解析:方程f(x)=x2+2m,即x-lnx-m=0,令函數h(x)=x-lnx-m(x>0),求導得h′(x)=

當x∈(0,1)時,h′(x)<0,故h(x)單調遞減;當x∈(1,+∞)時,h′(x)>0,故h(x)單調遞增。

所以h(x)min=h(1)=1-m。

若方程f(x)=x2+2m有兩個不等實根,則有h(x)min<0,即m>1。當m>1時,00,h(em)=em-2m,令函數p(x)=ex-2x(x>1),求導得p′(x)=ex-2>0,即p(x)在(1,+∞)上是增函數,所以p(x)>p(1)=e-2>0,所以h(em)>0,所以原方程有兩個不等實根,所以實數m的取值范圍為(1,+∞)。

點評:消參減元策略解決極值點偏移問題,結合所要證明的多變元(一般兩個及以上)關系式加以恒等變形,建立與所求解問題相關的函數,結合消參并減元,合理構建關系式,通過研究函數的單調性、極值與最值等相關問題來恒等變換,進而得以解決對應的極值點偏移問題。

三、比(差)值換元

例3已知函數f(x)=ax2-ex(a∈R)在(0,+∞)上有兩個零點x1,x2(x1

(1)求實數a的取值范圍;

(2)求證:x1+x2>4。

當x∈(0,2)時,h′(x)<0,所以h(x)在(0,2)上單調遞減;當x∈(2,+∞)時,h′(x)>0,所以h(x)在(2,+∞)上單調遞增。

點評:比(差)值換元策略解決極值點偏移問題,比(差)值換元的目的也是消參、減元,就是根據已知條件首先建立極值點之間的關系,然后利用兩個極值點之比(差)作為變量,從而實現消參、減元的目的。設法用比值或差值(一般用t表示)表示兩個極值點,繼而將所求解問題轉化為關于t的函數問題。

熟練理解并把握極值點偏移問題的基本破解策略,著重抓住對稱變換、消參減元、比(差)值換元策略解決問題的實質,關鍵是以不同的策略巧妙通過消參或消元等方式,合理構建函數,利用導數的運算與應用,以及函數的單調性、極值與最值等來綜合應用,合理化歸與轉化,借助數形結合思想,巧妙應用,合理破解。