應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)與極值問(wèn)題

■湖南省郴州市第二中學(xué) 李 微

函數(shù)的零點(diǎn)與極值是函數(shù)的重要性質(zhì),是高考考查的重要方向。解決這兩類(lèi)問(wèn)題需要很強(qiáng)的導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用能力,構(gòu)造與轉(zhuǎn)化的思辨能力,以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

一、零點(diǎn)問(wèn)題

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的思路是:通過(guò)求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性、極值等,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理予以解決。也可用轉(zhuǎn)化法,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)即為方程f(x)=0 的實(shí)數(shù)解,也是分離參數(shù)后方程a=g(x)的解,可視為求函數(shù)y=a與y=g(x)的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)問(wèn)題,結(jié)合圖像變化趨勢(shì)、最高(低)點(diǎn)、函數(shù)值域等即可解決。

1.已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍

(1)若函數(shù)f(x)在(1,e)上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≤g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

評(píng)注:第(1)題用分離參數(shù)法,討論方程-a=k(x)有解時(shí)a的取值范圍。首先探求k(x)的單調(diào)性,由于k′(x)的正負(fù)即k(x)的單調(diào)性不明確,需令φ(x)=k′(x),求導(dǎo)后解不等式φ′(x)>0 與φ′(x)<0,可得k′(x)的單調(diào)性和極大值小于零,判定k(x)為減函數(shù),從而求得方程-a=k(x)在(1,e)上有解時(shí)a的取值范圍,即函數(shù)f(x)在(1,e)上有零點(diǎn)時(shí)a的取值范圍。第(2)題是在不等式恒成立時(shí)求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題,可用帶參討論法。變形構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)至關(guān)重要,直接構(gòu)造函數(shù)F(x)=g(x)-f(x)求導(dǎo)予以研究難度大,而構(gòu)造函數(shù)F(x)=則難度驟減。在對(duì)F(x)二次求導(dǎo)后,需對(duì)a的取值進(jìn)行二級(jí)分類(lèi)討論,先分a>0與a≤0;再分F′(1)≥0與F′(1)<0予以討論。

2.求含參函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

例2已知函數(shù)f(x)=xa-alnx-b(a≠0)。

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

評(píng)注:第(1)題,在應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理時(shí),常常需驗(yàn)證存在m,n,使得f(m)·f(n)<0,尋找m,n,可從特殊點(diǎn)或函數(shù)特點(diǎn)賦值而得。函數(shù)含有指數(shù)式ex,可賦含有對(duì)數(shù)lnx形式的值,函數(shù)含有對(duì)數(shù)式lnx,可賦含有ex形式的值。第(2)題的證法1,利用換元法(令xa=t)達(dá)到了降維減難度的目的,繼而轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移問(wèn)題。

二、極值(或最值)問(wèn)題

函數(shù)極值問(wèn)題的類(lèi)型:(1)分類(lèi)討論求極值(點(diǎn));(2)已知極值(點(diǎn))的情況求參數(shù)的值(或范圍)。

由于f′(x)=ex+x-1,顯然f′(x)在R上單調(diào)遞增,且f′(0)=0,所以當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0。所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)。

設(shè)g(x)=ex-(a+1)x-b,則g(x)min≥0。求導(dǎo)得g′(x)=ex-(a+1)。

①若a+1>0,令g′(x)>0,得x>ln(a+1);令g′(x)<0,得x

通過(guò)以上例題的分析可知,我們不僅要對(duì)零點(diǎn)與極值的概念及其求解步驟熟練掌握,還要對(duì)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則能準(zhǔn)確應(yīng)用,練好基本功。零點(diǎn)問(wèn)題與極值問(wèn)題往往離不開(kāi)導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性,有時(shí)還需通過(guò)二次求導(dǎo)才能解決問(wèn)題,這其中需要嚴(yán)密的邏輯推理。二者常常與不等式的證明與求解密不可分。