例析曲線的切線與函數單調性問題

■湖南省郴州市第二中學 曠東北

導數的幾何意義即曲線的切線的斜率,是導數在函數中最基礎與最直接的應用。導數不僅用于函數圖像的切線的研究,還可用于解析幾何中曲線的切線的研究。

導數是研究函數的單調性最有效的工具。利用導數判斷函數的單調性,進而證明不等式;求函數的零點與極值(最值),解決生活中的優化問題;已知單調性求參數等問題,都是高考的重要考點。

一、曲線的切線問題

曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程的求法:曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處切線的斜率是f′(x0),切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)。

曲線y=f(x)過點Q(a,b)的切線方程的求法:設切點為(x0,f(x0)),則切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),將(a,b)代入得b-f(x0)=f′(x0)(a-x0),由此求出切點坐標(x0,y0),再代入切線方程即可。

例1過點P(a,b)可以作出曲線y=lnx的兩條切線,切點分別為A,B兩點。

(1)證明:0

(2)設線段AB的中點M的橫坐標為x0,試比較x0與a的大小關系。

若a≤0,則g(x)為增函數,至多有一個零點,不合題意。

因此a>0,求導得g′(x)=當x∈(0,a)時,g′(x)<0,g(x)單調遞減;當x∈(a,+∞)時,g′(x)>0,g(x)單調遞增。所以當x=a時,g(x)取得最小值g(a)=lna-b。若要使g(x)有兩個零點,則需g(a)<0,即lna

(2)依題設,只需比較x1+x2與2a的大小關系。

二、函數的單調性問題

可導函數y=f(x)在區間D上單調遞增(減)的充要條件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)恒成立,且使f(x0)=0的x0在D內是孤立的點。

1.利用導數求函數的單調區間

2.根據函數的單調性求參數的取值范圍

例3已知函數f(x)=ex+sinxcosx-ax。

(1)若函數f(x)在[0,+∞)上單調遞增,求實數a的取值范圍。

(2)設函數g(x)=f(x)-ln(1-x),若g(x)≥0,求實數a的值。

解析:(1)由題意知f′(x)=ex+cosx+sinx-a。因為函數f(x)在[0,+∞)上單調遞增,所以f′(x)≥0,分離參數得a≤ex+cosx+sinx對任意x∈[0,+∞)恒成立。

綜上,在[0,+∞)上,h′(x)>0,函數h(x)單調遞增,所以a≤h(x)min=h(0)=2。

故實數a的取值范圍為(-∞,2]。

綜上所述,當g(x)≥0時,a=3。

點評:第(1)題,由已知轉化為a≤h(x)=ex+cosx+sinx恒成立,再轉化為求h(x)min。對含三角函數的函數可借助三角函數的有界性分類討論。第(2)題,先由g(x)≥g(0) (x<1)且等號成立,可知g(x)存在極小值點x=0,求得必要條件a=3;再證明a=3為g(x)≥0的充分條件即可。

該部分內容主要考查導數的幾何意義,利用導數研究函數的單調性、最值、零點等,體現了邏輯推理、數學運算等核心素養。