同構函數與極值點偏移問題的應用探究

■湖南省郴州市第一中學 李 強

應用導數研究函數問題,構造與轉化至關重要,構造的函數恰當,則往往能起到事半功倍的效果。在含有x,ex,lnx的混合式的處理過程中,有時用同構函數法可大大簡化運算過程。解決極值點偏移問題的重要方法也是構造函數,即根據函數y=f(x)的極值點x0構造函數。若需證x1+x2>2x0,則令F(x)=f(x)-f(2x0-x);若需證x1x2>則令再根據f(x)的單調性,將問題轉化為判定F(x)的符號問題。

一、同構函數的應用

例1已知不等式e2ax+lnx≥(2a+1)x對任意的x∈(1,+∞)恒成立,則正實數a的取值范圍是( )。

評注:將已知不等式移項,利用和差型同構思路,使兩邊化為同一個外層函數單調性確定的復合函數,轉化為形式更簡單的等價不等式。

綜上所述,不存在過原點的直線與f(x)的圖像相切。

先分別證不等式ex≥x+1 ①;lnx≤x-1 ②。(過程略)

由①知,ex+lnx≥(x+lnx)+1,即xex≥x+lnx+1,取等號的條件是x+lnx=0。

由②知,lnx-x+1≤0,又x>0,故x(lnx-x+1)≤0,取等號的條件是x=1。

二、極值點偏移問題

解決極值點偏移問題的主要方法有構造函數法,換元法等。

當a≤0時,f′(x)>0恒成立,則f(x)在(0,+∞)上單調遞增;當a>0 時,f′(x)<0的解集為(0,a),f′(x)>0的解集為(a,+∞),即f(x)在(0,a)上單調遞減,在(a,+∞)上單調遞增。

綜上可知,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上單調遞增;當a>0時,f(x)在(0,a)上單調遞減,在(a,+∞)上單調遞增。即φ(x)在(0,e)上單調遞增,則0<φ(x)<φ(e)=e,故h′(x)<0,h(x)在(0,e)上單調遞減。而(0,a)?(0,e),所以當x∈(0,a)時,h(x)>h(a)>h(e)=1,即當x∈(0,a)時,成立,故有x1x2

綜上所述,a2

以上例題主要考查不等式恒成立時求參數范圍、證明函數不等式、求函數最值等問題,適時應用同構函數法等可突破難點,提高轉化與化歸思想、分類討論思想的應用能力,提升數學運算、邏輯推理等核心素養。