函數與導數綜合運用試題精選

■江西省永豐中學 曾 偉

1.已知函數f(x)=alnx+x2,g(x)=2x3-ax+2,a∈R。

(1)討論函數f(x)的單調性;

(2)若?x1∈(0,+∞),?x2∈[-2,-1],使得2f(x1)≤f(x2),求實數a的取值范圍。

2.已知函數f(x)=ex-ksinx在區間內存在極值點α。

(1)求實數k的取值范圍;

(2)求證:在區間(0,π)內存在唯一的β,使得f(β)=1,并比較β與 2α的大小。

(1)討論函數f(x)的單調性;

(2)設函數g(x)=(3-a)x-f(x)有兩個極值點x1,x2(x1

5.已知函數

(1)試判斷函數f(x)的零點個數;

6.設a≥0,函數f(x)=(x+1)lnx+(a-2)x+2。

(1)求證:f(x)存在唯一零點x0;

(2)在(1)的結論下,若x1+a=sinx1,求證:x1-lnx0≤0。

(1)當a=1時,求曲線f(x)在點(1,0)處的切線方程;

(2)當0

8.已知函數f(x)=

(1)求函數f(x)的極值;

參考答案:

又因為g(0)=0>g(α),g(π)=eπ-1>0,所以g(x)在(0,α)內無零點,在(α,π)內存在一個零點,故存在唯一的β∈(0,π),使得g(β)=0,即f(β)=1。

由(1)知eα=kcosα>1,所以g(2α)=e2α-ksin 2α-1=e2α-2eαsinα-1=eα(eα-2sinα)-1。

若a>0,當xx1時,f′(x)<0,f(x)單調遞減;當x20,f(x)單調遞增。

綜上可得,當a=0時,f(x)的單調遞增區間為(-∞,1),單調遞減區間為(1,+∞);

令f′(x)=0,得x=1或x=a。

若00,f(x)單調遞增;當x∈(a,1)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減。

若a=1,則f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上單調遞增。

若a>1,當x∈(0,1)與(a,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增;當x∈(1,a)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減。

綜上可得,當01時,f(x)在(0,1)和(a,+∞)上單調遞增,在(1,a)上單調遞減。

所以當a∈(1,a0)時,m′(a)>0,m(a)單調遞增;當a∈(a0,4)時,m′(a)<0,m(a)單調遞減。

下面確定函數f(x)在(0,+∞)上的零點個數。

當x∈(0,x0)時,g(x)<0;當x∈(x0,+∞)時,g(x)>0。所以函數f(x)在(0,x0)上單調遞減,在(x0,+∞)上單調遞增。因為f(0)=0,所以f(x0)0,所以函數f(x)在(x0,π)上有且只有一個零點,故函數f(x)在(0,+∞)上有且只有一個零點。由奇函數的性質可知,函數f(x)在(-∞,0)上有且只有一個零點,所以函數f(x)有三個零點。

若a≤0,則f′(x)>0 恒成立,f(x)在(0,+∞)上單調遞增,故f(x)沒有極值。

若a>0,則當x∈(0,a)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減;當x∈(a,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增。所以f(x)有極小值,極小值為f(a)=lna+b+1,無極大值。