函數(shù)零點巧創(chuàng)設(shè),導(dǎo)數(shù)工具妙應(yīng)用

■江蘇省上岡高級中學(xué) 洪 鄭

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用作為高中數(shù)學(xué)的重點知識之一,有其自身的知識框架體系,也是解決一些函數(shù)及其相關(guān)問題的重要工具之一,成為新高考數(shù)學(xué)試卷壓軸題的首選知識之一。而函數(shù)零點問題的巧妙創(chuàng)設(shè),為導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用構(gòu)建更加豐富多彩、形式多樣的問題場景,成為考生學(xué)習(xí)的一個難點與瓶頸。

一、抓住一個定理——零點存在性定理

函數(shù)的零點存在性定理可以結(jié)合函數(shù)在給定區(qū)間(a,b)上的單調(diào)性,以及在區(qū)間的端點處的函數(shù)值情況,確定函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上存在唯一的零點,而不需要直接求解具體的零點值,“彎道”解決。

例1(2023 年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)模擬試卷)已知函數(shù)f(x)=ex+sinxcosx,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)。

(1)證明:當(dāng)x≥0時,f′(x)≥2;

(2)設(shè)g(x)=f(x)-2x-1,證明:g(x)有且僅有2個零點。

解析:(1)由f(x)=ex+sinx-cosx,求導(dǎo)得f′(x)=ex+cosx+sinx。設(shè)h(x)=ex+cosx+sinx,則h′(x)=ex-sinx+cosx。當(dāng)x≥0 時,設(shè)p(x)=ex-x-1,q(x)=x-sinx,因為p′(x)=ex-1≥0,q′(x)=1-cosx≥0,所以p(x)和q(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以p(x)≥p(0)=0,q(x)≥q(0)=0,所以當(dāng)x≥0時,ex≥x+1,x≥sinx,則h′(x)=ex-sinx+cosx≥x+1-sinx+cosx=(x-sinx)+(1+cosx)≥0,所以h(x)=ex+cosx+sinx在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(x)≥h(0)=2,即當(dāng)x≥0時,f′(x)≥2。

(2)由已知得g(x)=ex+sinx-cosx-2x-1。

①當(dāng)x≥0時,因為g′(x)=ex+cosx+sinx-2=f′(x)-2≥0,所以g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,又因為g(0)=-1<0,g(π)=eπ-2π>0,所以由函數(shù)的零點存在性定理可知g(x)在[0,+∞)上僅有1個零點。

綜上所述,g(x)有且僅有2個零點。

點評:巧妙利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,綜合考查不等式的證明及函數(shù)零點存在性定理的應(yīng)用,考查分類討論思想與邏輯推理能力等。以函數(shù)的零點存在性定理為突破口,結(jié)合分類討論探究在不同區(qū)間上各自僅有1個零點,從而實現(xiàn)問題的分析與證明。

二、構(gòu)造一類函數(shù)——新函數(shù)

合理構(gòu)建新函數(shù)模型,為一些復(fù)雜的函數(shù)解析式的正負(fù)取值判斷提供更加精準(zhǔn)的條件,特別是涉及復(fù)雜積式或分式問題,經(jīng)常可以通過分解成一部分比較簡單容易判斷與另一部分不易操作的情況,合理構(gòu)建該部分為新函數(shù)來化歸與轉(zhuǎn)化。

點評:借助新函數(shù)的構(gòu)建與求導(dǎo)處理,利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的個數(shù)判定,以及利用分離法求解參數(shù)的取值范圍問題。以構(gòu)造新函數(shù)為主,借助導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,綜合函數(shù)的零點的相關(guān)知識來綜合與應(yīng)用,多層面化歸,多視角轉(zhuǎn)化,合理應(yīng)用,從而得以分析與判斷函數(shù)的零點個數(shù)問題。

三、借助一種思維——極限思維

對于一些無法直接確定函數(shù)值的正負(fù)情況問題,借助極限思維,往往可以進一步拓展思維,從而解決函數(shù)在x→a時對應(yīng)的函數(shù)值情況,為函數(shù)零點的分析與判斷提升更加廣闊與深遠(yuǎn)的思維。

點評:綜合導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用來解決涉及函數(shù)的零點與方程的根的綜合應(yīng)用問題。巧妙借助極限思維,可以用來解決一些連續(xù)函數(shù)具有單調(diào)性,而對應(yīng)的函數(shù)圖像不明確,但相應(yīng)的函數(shù)值可以極限取值的相關(guān)問題,極限思維是拓展思維與應(yīng)用的一個有效手段。

在利用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用解決函數(shù)中的零點問題時,特別涉及一些零點不可求的相關(guān)問題,往往可以采取適當(dāng)措施,抓住“一個定理”加以試探,構(gòu)造“一類函數(shù)”加以應(yīng)用,借助“一種思維”加以拓展,有時一種策略獨領(lǐng)風(fēng)騷,有時多種策略齊心協(xié)力,多措并舉,合理化歸與轉(zhuǎn)化,綜合函數(shù)與方程思想,或數(shù)學(xué)運算,或邏輯推理,探究函數(shù)零點的相關(guān)情況,從而達到巧妙解題的目的。