破解極值點偏移問題的方法與技巧

■安徽省阜陽第一中學 董 曉

極值點偏移問題是近幾年來高考數學中經常出現的一類熱點與難點問題之一,往往以壓軸題的形式出現,難度非常大,很多考生對此類問題無從下手、束手無策。熟練把握極值點偏移問題的基本特征與對應類型,掌握一些基本的破解方法與技巧,可以借助對稱化構造輔助函數法來分析與處理,也可以借助比值代換法轉化為單變量的函數不等式法來分析與處理,思維視角多種多樣,切入方式各異,都能有效轉化,巧妙應用,合理破解。

一、對稱化構造輔助函數

例1已知函數f(x)=+1。

(1)若曲線y=f(x)在x=1 處的切線與直線x-y=0垂直,求函數f(x)在區間(0,1)上的最大值;

(2)當a=1時,設函數f(x)的兩個零點為x1,x2(x12。

解析:(1)由題意得,函數f(x)=lnx-的定義域為(0,+∞),f′(x)=-ax。因為曲線y=f(x)在x=1處的切線與直線x-y=0垂直,所以f′(1)=1-a=-1,解得a=2。

點評:對稱化構造輔助函數來破解極值點偏移問題,往往是用來解決與兩個極值點之和、積等相關不等式的證明問題,結合條件確定函數并構建對稱函數,將相關不等式加以等價轉化并與函數加以聯系,利用函數的單調性進行判斷,進而比較大小與巧妙轉化,從而實現問題的破解。

二、合理選取函數

例2已知函數f(x)=x-ea+x(a∈R)。

(1)若a=1,求函數f(x)的圖像在x=0處的切線;

(2)若f(x)有兩個零點x1,x2(x12。

解析:(1)當a=1 時,f(x)=x-e1+x,則f′(x)=1-e1+x,f′(0)=1-e,則函數f(x)的圖像在x=0處的切線的斜率為1-e。又因為f(0)=-e,所以所求切線的方程為y=(1-e)x-e,即(e-1)x+y+e=0。

(2)設函數g(x)=x-lnx+a,則函數g(x)與函數f(x)具有相同的零點,g′(x)=易知函數g(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,則g(x)≥g(1)=1+a。當x→0時,g(x)→+∞;當x→+∞時,g′(x)→1,g(x)→+∞。要使f(x),即g(x)有兩個零點,只需g(1)<0,即1+a<0,解得a<-1。

設函數F(x)=g(x)-g(2-x)(1

由題意得02。

點評:合理選取函數是解決極值點偏移問題時最基本的切入點,不同函數的選取與應用,往往決定問題破解的難易程度與分析過程,選取最為合適的函數來處理,可以優化運算,簡化過程,提升解題效益。

三、等價轉化結論

例3(2022 年天津市濱海區高考數學模擬試卷(5月份)(三模))已知函數f(x)=lnx,

(1)當a=-1,b=0 時,求曲線y=f(x)-g(x)在x=1處的切線方程;

(2)當b=0 時,若對任意的x∈[1,2],f(x)+g(x)≥0恒成立,求實數a的取值范圍;

(3)當a=0,b>0 時,若方程f(x)=g(x)有兩個不同的實數解x1,x2(x12。

點評:等價轉化結論來破解極值點偏移問題,是分析法證明一些不等式成立問題中比較常見的思維方法,通過結論的等價轉化,使得問題的破解更加接近于已知條件或更加吻合思路的歷程,從而通過合理選取函數來等價轉化與解決問題。

四、比值代換:化雙變量為單變量

點評:比值代換來破解極值點偏移問題,是處理多參數(一般是兩個)問題中比較常用的一個技巧方法,通過比值代換(有時也借助差值代換)化雙變量為單變量問題,合理消參減元,進而轉化為相應的函數問題來分析與處理。

熟練理解并把握極值點偏移問題的基本破解方法與技巧策略,抓住以上幾種技巧策略的實質,合理化歸與轉化,以不同的策略巧妙構建函數,利用導數的運算與應用,以及函數的單調性、極值與最值等來綜合應用,巧妙破解問題。